中国剩余定理及拓展

中国剩余定理
x % $m_1$ = $a_1$ （1）
x % $m_2$ = $a_2$ （2）
…
x % $m_n$ = $a_n$ （n）
$m_1$，$m_2$，…$m_n$两两互质，求解x

定理推导
$设M_i={\prod }_{j=1,j!=i}^n{m}_j$
$\because 对于任意的j!=i,M_i\%m_j=0,M_i\%m_i!=0$
$\therefore 设K_i=M_i\ast M_i^{-1}+a_i（M_i^{-1}为m_i下的逆元）$
$那么对于任意的j!=i,K_i\%m_j=0,K_i\%m_i==a_i$
$\therefore x={\sum }_{i=0}^n{K}_i$



扩展中国剩余定理
x % $m_1$ = $a_1$ （1）
x % $m_2$ = $a_2$ （2）
…
x % $m_n$ = $a_n$ （n）
$m_1$，$m_2$，…$m_n$两两不一定互质，求解x
推导过程
若n = 1，显然x = k$m_1$ + $a_1$ (k为任意数)
所以我们尝试合并方程即可
将(1)式(2)式拿出
则$k_1{m}_1+a_1$ = $k_2{m}_2+a_2$
即$k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1$
若 $(a_2-a_1)$ % gcd($m_1,m_2$) != 0 ,则x无解
否则利用扩展欧几里得即可计算出$k_1$
ext_gcd($m_1,m_2,k_1,k_2$)，算出该方程等于gcd($m_1,m_2$)时的解
然后乘以$(a_2-a_1)/gcd(m_1,m_2)$,即可得出合并$$\begin{gathered} (1)式,(2)式的k_1,从而算出满足(1)式(2)式的x^{\prime }。 \\ 即x^{\prime }=k_1\ast m_1+a_1，但是问题是这个x^{\prime }并不一定满足(3)式。 \\ 所以我们要利用x^{\prime }写出x的通解，那么x的通解就应该是x^{\prime }加上lcm(m_1,m_2) \end{gathered}$$
所以x的通解为$x^{\prime }+k\ast lcm(m_1,m_2),这样a_1=x^{\prime },m_1=lcm(m1,m2),这样第二个式子就被化掉了$
同理合并(3)式,(4)式,…(n)式后x = $k_1{m}_1+a_1$

/*
扩展中国剩余定理
求n个同余方程的解
输出最小的正整数解 
这个就算同余方程的右边是负数也能做
*/
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n;
ll m[100005],a[100005];

ll ext_gcd(ll m1,ll m2,ll &k1,ll &k2)
{
	ll d = m1;
	if( !m2 )
	{
		k1 = 1;
		k2 = 0;
	}else
	{
		d = ext_gcd(m2,m1%m2,k2,k1);
		k2 -= (m1/m2) * k1; 
	}
	return d;
}

ll q_mul(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll res = 0;
	ll flag = 1;
	if( b < 0 ) 
	{
		b = -b;
		flag = -1;
	}
	while( b != 0 )
	{
		if( b & 1 ) res += a;
		a += a;
		a %= mod;
		b >>= 1;
	}
	return res * flag;
}

ll ext_CRT()
{
	a[1] %= m[1];
	//if( a[1] == 0 ) a[1] += m[1]; //若要求大于0，加上这一句 
	ll k1,k2;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		ll d = ext_gcd(m[1],m[i],k1,k2);
		if( (a[i] - a[1]) % d )   //两个式子无法合并,说明无解 
		{
			return -1;
		}
		ll t = m[i] / d;    //这里m[i]一定为正,否则直接取绝对值,因为要最小整数解
		k1 %= t;
		ll z = (a[i]-a[1])/d;
		k1 = q_mul(k1,z,t);
		k1 = (k1 % t + t) % t;
		a[1] = k1 * m[1] + a[1];
		m[1] = m[1] * ( m[i] / d );
		a[1] %= m[1];
		//if( a[1] == 0 ) a[1] += m[1];  //保证大于0 
	}
	return a[1];
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);   // x % mi = ai 
	}
	printf("%lld\n",ext_CRT());
	return 0;
}