Codeforces Round #703 (Div. 2) D. Max Median【前缀和 | 二分答案】

题意：

• 给定长度为 n 的数组 a，找到一个长度至少为 k 的子数组 a[l…r]，组成这个子数组的元素的中位数最大。中位数为这个子数组排序后的第 $\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$ 个数字。
• $1\le a_i\le n，1\le k\le n\le 2\cdot 10^5$

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思路：

• 对于本题的中位数，如果子数组长度为偶数，中位数取中间靠左那个，因此，子数组中大于等于中位数的元素的一定占所有元素的一半以上，即大于等于中位数的元素个数比小于中位数的多，利用这一点，我们可以在 $\mathcal{O}(n)$ 的时间判断出一个数 x 是否小于等于中位数，若 x 小于等于中位数，则大于等于 x 的数多于小于 x 的数。由上述的判断过程来看，x 的值是有单调性的，即 x 越大，上述 “大于等于 x 的数多于小于 x 的数” 这个条件越不好满足，如果一个数字满足这个条件了，那么比它小的也一定满足，所以当一个数字满足，我们尝试增大这个数字看它是不是也满足，这样 x 就存在一个最大值，因此可以进行二分答案，直到 x 为最大的那个值。
• 为了实现上述操作，check时我们可以令大于等于 x 的数为 1，小于 x 的数为 -1，这样如果一个区间的和大于 0，就表示满足 “大于等于 x 的数多于小于 x 的数” 这个条件。我们可以计算一个前缀和，并维护 $0,1,...,i-k$ 位置的最小前缀和 mn，如果当前位置 i 的前缀和 pre[i] 满足 pre[i] - mn > 0，就表示有一段长度大于等于 k 的子数组满足条件。

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拓展：

• 若将题目中的中位数换成算数平均值，如何做。
• check 答案的时候，将序列每个数同时减去答案 x。然后找到一个子数组区间和大于等于 0 的即合法。
• 因为将每个数同时减去答案 x 后，算数平均值 ≥ 0 即原序列算数平均值 ≥ x。

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AC Codes：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n, k;
vector<int> a;
bool check(int x) {
    ll mn = 0;
    vector<ll> pre(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pre[i] = pre[i - 1] + (a[i] >= x ? 1 : -1);
    for (int i = k; i <= n; i++) {
        mn = min(mn, pre[i - k]);
        if (pre[i] - mn > 0)
            return true;
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> k;
    a = vector<int>(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> a[i];
    int l = 1, r = 2e5;
    while (l + 1 < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) {
            l = mid;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    cout << (check(r) ? r : l) << '\n';
    return 0;
}