EOJ Monthly 2020.9 C. 最小表示【DP | 思维】

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题目描述

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做法1（差分+DP）：

有样例我们可知，连续的 1 可以变为一个 1 和 -1，但是也有反例，例如1110111，如果按照这样的话会变为1 0 0 -1 1 0 0 -1，共需要 4 个，但是其实正确的答案是 1 0 0 0 -1 0 0 -1，即将中间的 -1 和 1 合并成 -1，同理 1 -1 也可以合并成 -1，所以我们可以用类似于差分的方式将原数列变成差分的形式，然后进行动态规划，将能合并的进行合并，令dp[i]表示前 i 个位需要非零元素的数量，状态转移方程如下：

1. $a[i]=0，dp[i]=dp[i-1]$
2. $(a[i]=1anda[i-1]=-1)or(a[i]=-1anda[i-1]=1)，dp[i]=dp[i-2]+1$
3. 其他情况 $a[i]=1ora[i]=-1$，$dp[i]=dp[i-1]+1$

由于最终要输出整个序列，所以转移的时候要记录方向，还有注意一种情况，最高位为 1 ，而次高位为 0 时，由于我们差分时将 n 加了 1，所以此时最高位的两位合并之后就变成 0 1，出现了前导0，此时就要特殊处理一下：当将次高位和最高位合并时，n 要减 1。

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做法2（DP）：

另一种dp方式，dp[i][0/1]表示第 i 位前面有没有借位，等会了就写。。。

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做法1 AC Codes：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
#include <deque>
#include <list>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
//#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
//cout << fixed << setprecision(2);
//cout << setw(2);
const int N = 1e6 + 6, M = 1e9 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;

string s;
int a[N], c[N], dp[N], ans[N], fa[N];

int main() {
    //freopen("/Users/xumingfei/Desktop/ACM/test.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> s;
    int n = (int) s.size();
    for (int i = n - 1, j = 1; i >= 0; i--, j++) 
        a[j] = s[i] == '1' ? -1 : 0;
    n++;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        c[i] = a[i] - a[i - 1];
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        if (c[i + 1] == 1 && c[i] == -1) {
            ans[i] = 1, fa[i] = i + 2, dp[i] = dp[i + 2] + 1;
        } else if (c[i + 1] == -1 && c[i] == 1) {
            ans[i] = -1, fa[i] = i + 2, dp[i] = dp[i + 2] + 1;
        } else {
            ans[i] = c[i] ? c[i] : 0, fa[i] = i + 1;
            dp[i] = dp[i + 1] + ans[i] ? 1 : 0;
        }
    }
    int x = 1;
    while (x <= n) {
        if (fa[x] == x + 1) {
            x++;
        } else {
            ans[x + 1] = 0;
            x += 2;
            if (x > n) {
                n--;
                break;
            }
        }
    }
    cout << n << '\n';
    for (int i = n; i >= 1; i--) cout << ans[i] << " \n"[i == 1];
    return 0;
}