[NPUCTF2020]EzRSA e和phi_n不互素怎么找d

云声风语

已于 2023-09-21 09:17:26 修改

阅读量319

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： # RSA 文章标签： python 网络安全密码学

于 2023-09-19 18:15:42 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44230906/article/details/133037046

RSA 专栏收录该内容

10 篇文章

订阅专栏

博客围绕Python密码学展开，涉及RSA解密算法。通过gmpy2的lcm函数求最小公倍数，利用数的性质猜测[q - 1, p - 1]的值，进而求出φ(n)。因e与φ(n)不互质，对e进行变形求逆元d，最后通过一系列操作完成解密。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

from gmpy2 import lcm , powmod , invert , gcd , mpz
from Crypto.Util.number import getPrime
from sympy import nextprime
from random import randint
p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p * q
gift = lcm(p - 1 , q - 1)
e = 54722
flag = b'NPUCTF{******************}'
m = int.from_bytes(flag , 'big')
c = powmod(m , e , n)
print('n: ' , n)
print('gift: ' , gift)
print('c: ' , c)

#n:  17083941230213489700426636484487738282426471494607098847295335339638177583685457921198569105417734668692072727759139358207667248703952436680183153327606147421932365889983347282046439156176685765143620637107347870401946946501620531665573668068349080410807996582297505889946205052879002028936125315312256470583622913646319779125559691270916064588684997382451412747432722966919513413709987353038375477178385125453567111965259721484997156799355617642131569095810304077131053588483057244340742751804935494087687363416921314041547093118565767609667033859583125275322077617576783247853718516166743858265291135353895239981121
#gift:  2135492653776686212553329560560967285303308936825887355911916917454772197960682240149821138177216833586509090969892419775958406087994054585022894165950768427741545736247918410255804894522085720642952579638418483800243368312702566458196708508543635051350999572787188236243275631609875253617015664414032058822919469443284453403064076232765024248435543326597418851751586308514540124571309152787559712950209357825576896132278045112177910266019741013995106579484868768251084453338417115483515132869594712162052362083414163954681306259137057581036657441897428432575924018950961141822554251369262248368899977337886190114104
#c:  3738960639194737957667684143565005503596276451617922474669745529299929395507971435311181578387223323429323286927370576955078618335757508161263585164126047545413028829873269342924092339298957635079736446851837414357757312525158356579607212496060244403765822636515347192211817658170822313646743520831977673861869637519843133863288550058359429455052676323196728280408508614527953057214779165450356577820378810467527006377296194102671360302059901897977339728292345132827184227155061326328585640019916328847372295754472832318258636054663091475801235050657401857262960415898483713074139212596685365780269667500271108538319

分析

本题涉及到一个gmpy2的函数lcm(Least Common Multiple)求最小公倍数
$φ(n)=(q−1)(p−1)\varphi(n)=(q-1)(p-1)$
这里涉及一个概念：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即：
$b]a*b=(a,\ b)*[a,\ b]$
$p−1]\varphi(n)=gift*[q-1,\ p-1]$
已知 $n\textcolor{red}n$ 的值
$n = p * q$
$len(φ(n))=len(n)len(\varphi(n))=len(n)$
这里也可能是
$len(bin(φ(n)))=len(bin(n))len(bin(\varphi(n)))=len(bin(n))$
总之这两个值的位数是一样的，那那就可以猜测出 $p−1][q-1,\ p-1]$ 的值
如果是 $len(φ(n))=len(n)len(\varphi(n))=len(n)$ 可以求出 $p−1]=8[q-1,\ p-1]=8$
如果是 $len(bin(φ(n)))=len(bin(n))len(bin(\varphi(n)))=len(bin(n))$ 可以求出 $9][q-1,\ p-1]=[4,\ 9]$
最后求出来是8
最后求出 $φ(n)\varphi(n)$ 的值
$φ(n)=gift∗8\varphi(n)=gift*8$
这里通过逆元求 $d$ 是求不出的
$e = 54722$
$e$ 不是素数，也不和 $φ(n)\varphi(n)$ 互素
$φ(n)]e\ //\ [e,\ \varphi(n)]$ 的值和 $φ(n)]\varphi(n)\ //\ [e,\ \varphi(n)]$ 的质互素
求 $d$ 的值就是求逆元
$φ(n)d*e=1\bmod \varphi(n)$

$重点来了，这里我们要做的是将e进行一次变形，来得到逆元d\textcolor{red}{重点来了，这里我们要做的是将e进行一次变形，来得到逆元d}$
$φ(n)]=2\textcolor{red}{[e,\ \varphi(n)]=2}$
$变形的e我们这时把他叫作e_2，下面就是一系列的变形过程\textcolor{red}{变形的e我们这时把他叫作e\_2，下面就是一系列的变形过程}$

$e_2=e // [e, φ(n)]e\_2=e\ //\ [e,\ \varphi(n)]$
$e\_2=e\ //\ 2$
因为
$nc=m^e\bmod n$
$nc=(m^2)^{e/2}\bmod n$
${e进行了变形，m也要变，指数的乘除}$
现在可以用逆元 $d$ 求出 $m^2$ 的值，
最后开根号就可以求出m的值，
这里要注意， $φ(n)][e,\ \varphi(n)]$ 的值可能不是2
剩下的就是解密的基本操作了
代码如下：

>>> from gmpy2 import mpz, invert, powmod, iroot
>>> n = mpz(17083941230213489700426636484487738282426471494607098847295335339638177583685457921198569105417734668692072727759139358207667248703952436680183153327606147421932365889983347282046439156176685765143620637107347870401946946501620531665573668068349080410807996582297505889946205052879002028936125315312256470583622913646319779125559691270916064588684997382451412747432722966919513413709987353038375477178385125453567111965259721484997156799355617642131569095810304077131053588483057244340742751804935494087687363416921314041547093118565767609667033859583125275322077617576783247853718516166743858265291135353895239981121)
>>> gift = mpz(2135492653776686212553329560560967285303308936825887355911916917454772197960682240149821138177216833586509090969892419775958406087994054585022894165950768427741545736247918410255804894522085720642952579638418483800243368312702566458196708508543635051350999572787188236243275631609875253617015664414032058822919469443284453403064076232765024248435543326597418851751586308514540124571309152787559712950209357825576896132278045112177910266019741013995106579484868768251084453338417115483515132869594712162052362083414163954681306259137057581036657441897428432575924018950961141822554251369262248368899977337886190114104)
>>> phi_n = gift * 8
>>> e = mpz(54722)
>>> e_2 = e // 2
>>> e_2
mpz(27361)
>>> c = mpz(3738960639194737957667684143565005503596276451617922474669745529299929395507971435311181578387223323429323286927370576955078618335757508161263585164126047545413028829873269342924092339298957635079736446851837414357757312525158356579607212496060244403765822636515347192211817658170822313646743520831977673861869637519843133863288550058359429455052676323196728280408508614527953057214779165450356577820378810467527006377296194102671360302059901897977339728292345132827184227155061326328585640019916328847372295754472832318258636054663091475801235050657401857262960415898483713074139212596685365780269667500271108538319)
>>> d_2 = invert(e_2, phi_n)
>>> d_2
mpz(3623960926141555287499586936002588830496079841917313026194295760800408709320214823092595120348106137096187643430943490188125460015267714721383831801228978459738147422443015519352272682374528861550878044580645701539157928346749225751507239116578270629886685872725950227888153727090008690323645748696039492535572413478695359833744058610421607613148611079294300359070562314131322943755528912767514805442203168837293463002592529171033395324433632351223302828794321356947273613442834088890412435561603072808318967737183818601065838683683047315620557667562640144050484413871241100000176857555556621331996774524057292473889)
>>> m_2 = powmod(c, d_2, n)
>>> m_2
mpz(4457739276450750973807362088089319606097011997747961409022906575971021744219518190210017002304776543765491793897149413559709081776139101961)
>>> m = iroot(m_2, 2)
>>> m
(mpz(2111335898536931279306810443240820489664022670971730129629668753766781), True)
>>> flag = bytes.fromhex(hex(int(m[0]))[2:])
>>> flag
b'NPUCTF{diff1cult_rsa_1s_e@sy}'

e和 $φ(n)\varphi(n)$ 不互质

$\begin{align} [e,\ \varphi(n)]\ne 1\\ d * \cfrac{e}{[e,\ \varphi(n)]}=1\bmod \varphi(n)\\ c = (m^{[e,\ \varphi(n)]})^{e/{[e,\ [e,\ \varphi(n)]}}\bmod n \end{align}$