【GAMES101】03-05

最新推荐文章于 2025-06-01 11:36:00 发布

salahuya

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分类专栏： TA # GAMES 文章标签：线性代数矩阵

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03 位移变换Transformation

2维齐次变换矩阵

引入齐次坐标，点设为1，向量设为0

点和向量的坐标表示有一个非常重要的区别，即最后一个维度是0 or 1（如图橙色部分）。这样设计有两个目的：

向量具有平移不变性，给向量最后一个维度设为0，目的就是保护向量经过平移变换之后不变。
便于点和坐标之间的转换运算。

point + point = 两点之间的中点

使用齐次坐标还有一个好处，所有的变化（平移、旋转）都可以包含在一个矩阵中：

逆变换

即逆矩阵

复杂变换

存在多个变换矩阵时，变换顺序从右到左

3维齐次变换矩阵

与2维原理类似，只是多了一个维度

旋转矩阵

沿任意轴n旋转a°：

相机/视图变换

设相机坐标position为(x,y,z)，相机看向的方向为g，相机正上方向量为t，变换矩阵为 $M_{view}$
$M_{view}=R_{view}T_{view}\\ T_{view}=\begin{pmatrix} 1&0&0&-x_e\\ 0&1&0&-y_e\\ 0&0&1&-z_e\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\\ R_{view}=\begin{pmatrix} x_{g\times t}&y_{g\times t}&z_{g\times t}&0\\ x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\\$

g to -Z, t to Y,(g×t) to X

04 透视投影和正交投影

正交投影

正交投影的做法就是把物体移到原点处的 [-1,1]^3 的标准立方体中。

在这里插入图片描述

步骤分为两步：
① 先将物体中心平移到原点。
②再进行缩放，缩放到[-1,1]^3 的标准立方体中。
$M_{ortho}=\begin{pmatrix} \frac2{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac2{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac2{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}2\\ 0&1&0&-\frac{t+b}2\\ 0&0&1&-\frac{n+f}2\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}$

透视投影

在这里插入图片描述

透视投影可分为两步：

step 1：挤压远平面，将远平面变换为与近平面一样大小

step 2：使用正交投影将远平面投影到近平面上

整个过程中，近平面上的点无变化，远平面的中心点也不变

挤压之后，内部的某个点的z会变大，更偏向于f

设透视变正交矩阵为 $M_{persp->ortho}$ ，透视投影矩阵为 $M_{presp}$
$M_{persp->ortho}=\begin{pmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}\\ M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}$

具体推导过程见https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4

根据四个参数即可得到透视投影变换矩阵，可利用fovY和aspect求出正交投影中的l, r, b ,t

n：近平面距离
f：远平面距离
fovY：视锥角
aspect：宽高比

05 光栅化

MVP矩阵

M：模型Model transfomation

V：观察View transformation

P：投影Projection transformation(Orthographic or Perspective)
$M_{viewport}=\begin{pmatrix} \frac{width}2&0&0&\frac{width}2\\ 0&\frac{height}2&0&\frac{height}2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix}$