最大流__EdmondsKarp算法

最新推荐文章于 2024-06-25 21:40:22 发布

甘木甘木

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文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44110392/article/details/104119503

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本文深入探讨了Edmonds-Karp算法，一种用于求解最大流问题的有效方法。通过实例展示了如何利用该算法解决disjoint-paths和network-connectivity问题，并详细解释了BFS_EK在算法中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#include<iostream>
#include<queue>
using std::cin;
using std::queue;
const int size = 201;

int Gf[size][size] = {0};
int pre[size] = {0};
int visited[size] = {0};
int n,m;

int BFS(int src,int des)
{
    for(int i = 0;i <= n;i++){visited[i] = 0; pre[i] = 0;}
    queue<int>my_queue;
    my_queue.push(src);
    visited[src] = 1;
    int flow = 0x7FFFFFFF;

    while(!my_queue.empty())
    {
        int u = my_queue.front();
        my_queue.pop();

        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            if(i != u && visited[i] == 0 && Gf[u][i] > 0)
            {
                pre[i] = u;
                visited[i] = 1;
                my_queue.push(i);
                flow = Gf[u][i] > flow ? flow : Gf[u][i];

            }
        }
    }
    if(pre[des])
        return flow;
    return 0;
}

int main(int argc, const char** argv) {

    cin>>n>>m;
    for(int i = 0; i < m;i++)
    {
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        Gf[x][y] = w;
    }

    int sum = 0;

    int increasement = 0;
    while( (increasement = BFS(1,n) ) != 0)
    {
        int temp = n;
        while(temp != 1)
        {
            int Pi = pre[temp];
            Gf[Pi][temp] -= increasement;
            Gf[temp][Pi] += increasement;
            temp = Pi;
        }
        sum += increasement;
    }

    std::cout << "max flow: "<<sum << std::endl;
    return 0;
}

一、实验目标

利用Edmonds-Karp算法解决disjoint-paths和edge-connectivity问题

二、实验设计

disjoint-paths

不相交路径的数量在直观上看来就是从src到des完全不同的路径的数量之和

将图中每一个边的容量记为1的话，最大流的值即为disjoint-paths的解

network-connectivity

将每一个边的容量记为1

根据定义，network-connectivity要找的其实就是最小割的值

根据最大流最小割定理，最小割的值就是最大流的值，所以最大流的值就是network-connectivity的解

综上所述，上述两个问题的解答是求最大流的过程

Edmonds-Karp算法

图中所有的边的流全部置为0
在剩余网络上利用BFS寻找增广路径
- 选取剩余网络中从s到t的路径中最短的一条路径作为增广路径（假设所有边的权重为1）
- 记录增广路径中流值最小边的流值
  - 更新剩余网络中的边的流值
  - 增加图中最大流的值

cin>>n>>m;
    for(int i = 0; i < m;i++)
    {
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        Gf[x][y] = w;
    }

    int sum = 0;

    int increasement = 0;
    while( (increasement = BFS(1,n) ) != 0)
    {
        int temp = n;
        while(temp != 1)
        {
            int Pi = pre[temp];
            Gf[Pi][temp] -= increasement;
            Gf[temp][Pi] += increasement;
            temp = Pi;
        }
        sum += increasement;
    }

BFS_EK

与基础的BFS相比，还需记录路径中流值最小边的流值并返回

int BFS(int src,int des)
{
    for(int i = 0;i <= n;i++){visited[i] = 0; pre[i] = 0;}
    queue<int>my_queue;
    my_queue.push(src);
    visited[src] = 1;
    int flow = 0x7FFFFFFF;

    while(!my_queue.empty())
    {
        int u = my_queue.front();
        my_queue.pop();

        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            if(i != u && visited[i] == 0 && Gf[u][i] > 0)
            {
                pre[i] = u;
                visited[i] = 1;
                my_queue.push(i);
                flow = Gf[u][i] > flow ? flow : Gf[u][i];

            }
        }
    }
    if(pre[des])
        return flow;
    return 0;
}