清华计算机912考研真题解析

算法题（选自2020年清华912真题）

• A,B,C,D和F都是3分每题，E为5分。下图给出二叉树的结构体声明：

struct BinNode {
    //二叉树节点 
    BinNodePosi(T) lc; 
    BinNodePosi(T) rc; 
    int size; 
} 

A. 完全二叉树左子树的规模为__,请给出递推公式；
B. 给出A的伪代码实现；
C. 找出中序遍历序列第k个节点；
D. 对某一节点通过zigzag操作成为其祖先a的孩子；
E. 给出将一棵树转化为完全二叉树的算法，要求时间复杂度为O(nlogn)，迭代深度不超过O(logn);
F. 证明你在E中给出的算法满足复杂度和迭代深度的要求。

参考答案：

A. 对于高度为h的满二叉树，其规模size = 2^(h+1) - 1; 对于节点数为n的完全二叉树，其高度h = floor(logn)。（无特殊说明时，log函数的底数默认为2；floor函数取下整，例如：log16=4，floor(1.5)=1。）
对于一棵节点个数为n的完全二叉树，其最后一层的节点数量x = n - 高度为h-1的满二叉树的size，即 x = n - (2^h - 1)。而对于一棵高度为h的满二叉树，其最后一层的节点数 y = 2^h。因此可以得到左子树作为一棵高度为h-1的完全二叉树，其最后一层的节点数量为 min(x, y/2)。
因此，左子树的节点数量为高度h-2的满二叉树数量加上其最后一层的节点数量：
Lsize = 2^(h-1) - 1 + min(x, y/2) = 2^(h-1) - 1 + min(n - 2^h + 1, 2^(h-1))
其中h = floor(logn)。

B. 对于A的代码实现如下：

int get_left_size(int n){
   
    int h = floor(log(n) / log(2));
    int x = n - (int)pow(2, h) + 1;
    int y = (int)pow(2, h);