数据类型解析-优快云博客

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1. 数据的类型

按数据的表示范围分
- 定点数：小数点位置固定，数据表示范围小
- 浮点数：小数点位置不固定，数据表示范围较大
按能否表示负数分
- 无符号数：所有位均表示数值，直接用二进制数表示
- 有符号数：有正负之分，最高位为符号位，其余表示数值
按数据格式分
- 真值：没有经过编码的直观数据表示方式，其值可带正负号，任何数制均可（方便人们理解）
- 机器数：符号化后的数值（包括正负号的表示），一般位数固定（8、16、32…），不能随便忽略任何位置上的 $0$ 或 $1$ （方便计算机处理）

2. 定点数

2.1 定点数的基本概念

定点数是小数点固定在某一位置的数据，假设采用 $n + 1$ 位数据。

2.1.1 纯小数的表示方法

表示形式为 $x_0.x_{-1}x_{-2}x_{-3}···x_{-n}$ 其中有符号数的机器表示为 $x=x_sx_{-1}x_{-2}...x_{-n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\le |x|\le 1-2^{-n},x_s为符号位$ 其中符号位为 $0$ 表示为正，符号位为 $1$ 表示为负。当数值位全部为 $0$ 时，数 $x$ 的绝对值最小，即为 $0$ ，当数值位全部为 $1$ 时，数 $x$ 的绝对值最大，即为 $1-2^{-n}$ 。
无符号数的机器表示为 $x=x_0x_{-1}x_{-2}...x_{-n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\le x\le 1-2^{-n}$ 综上，数据的表示范围为 $0.0···0=0\le |x|\le 1-2^{-n}=0.1···1$

2.1.2 纯整数的表示方法

表示形式为 $x_nx_{n-1}x_{n-2}···x_1x_0.$ 其中有符号数的机器表示为 $x=x_sx_{n-1}···x_1x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |x|\le 2^n-1,x_s为符号位$ 其中符号位为 $0$ 表示为正，符号位为 $1$ 表示为负。当数值位全部为 $0$ 时，数 $x$ 的绝对值最小，即为 $0$ ，当数值位全部为 $1$ 时，数 $x$ 的绝对值最大，即为 $2^n-1$ 。
无符号数的机器表示为 $x=x_nx_{n-1}···x_1x_0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\le x\le 2^{n+1}-1,x_n为数值最高位$ 由此可见，无符号整数比有符号整数表示的位数多一位（最高位）。
注意，无论是纯小数还是纯整数，小数点的位置都是事先规定好的，并不需要额外保存（即缺省）。
目前计算机表示纯小数并不使用定点数，定点数主要用来表示纯整数。

2.1.3 定点数的缺点

所能表示的数据范围小
使用不方便，运算精度较低
存储单元利用率低

2.2 定点数的原码表示法

设机器数的表示形式 $x_nx_{n-1}x_{n-2}···x_1x_0$

2.2.1 原码表示小数

对于正数 $x=+0.x_{n-1}···x_1x_0$ ，有 $[x]_原=\textbf{0}x_{n-1}···x_1x_0$
对于负数 $x=-0.x_{n-1}···x_1x_0$ ，有 $[x]_原=\textbf{1}x_{n-1}···x_1x_0$
即
$[x]_原=\left\{ \begin{array}{l} x,0\le x<1\\ 1-x=1+|x|,-1<x\le 0\\ \end{array} \right.$

2.2.2 原码表示整数

对于正数 $x=+x_{n-1}···x_1x_0$ ，有 $[x]_原=\textbf{0}x_{n-1}···x_1x_0$
对于负数 $x=-x_{n-1}···x_1x_0$ ，有 $[x]_原=\textbf{1}x_{n-1}···x_1x_0$
即
$[x]_原=\left\{ \begin{array}{l} x,0\le x<2^n\\ 2^n-x=2^n+|x|,-2^n<x\le 0\\ \end{array} \right.$

2.2.3 原码表示法的特点

0 有两种表示方法
- $0]_原=00···0$
- $0]_原=10···0$
数据的表示范围
- 小数： $- 1 < x < 1$
- 整数： $2^n<x<2^n$
优点：机器数与真值的对应关系简单
缺点：参与运算复杂，需要分别考虑数值位与符号位

2.3 定点数的补码表示法

模的概念：所表示数的最大容量。若有 $n + 1$ 位整数，则其模为 $2^{n+1}$ 。
设机器数的表示形式 $x_nx_{n-1}x_{n-2}···x_1x_0$

2.3.1 补码表示小数

$[x]_补=\left\{ \begin{array}{l} x,0\le x<1\\ 2+x=2-|x|,-1\le x\le 0\\ \end{array} \right.$
相当于真值 mod $2$

2.3.2 补码表示整数

补码表示的真值为 $x=-2^nx_n+\sum_{i=0}^{n-1}{2^ix_i}$ 相当于最高位权值的符号与无符号数相反。
补码表示的定义为
$[x]_补=\left\{ \begin{array}{l} x,0\le x< 2^n\\ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x|,-2^n\le x\le 0\\ \end{array} \right.$
相当于真值 mod $2^{n+1}$

2.3.3 原码和补码的相互转换

对于正数，有 $x]_原=[x]_补$
对于负数，由原码求补码：除符号位以外，其余各位按位取反，再加 $1$ （简而言之，从最低位开始，遇到的第一个 $1$ 以前的各位保持不变，之后各位取反）

2.3.4 求相反数的补码

连同符号位一起取反，再加 $1$ ，即 $[-x]_补=\lnot[x]_补+1$

2.4 移码表示法

移码通常用于表示浮点数的阶码。其传统定义为 $[x]_移=2^n+x\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2^n\le x<2^n$ 和 $x]_补$ 的区别仅仅在于符号位相反。
移码表示法的优点：：可以直观地判断两个数据的大小

2.5 三种编码形式的总结

	正数	负数
原码	符号位为 $0$ ，数值部分与真值相同	符号位为 $1$ ，数值部分与真值的绝对值相同
补码	同上	符号位为 $1$ ，数值部分与原码各位相反，末位再加 $1$
移码	与上述两种符号位相反，数值位相同	符号位与补码相反，数值位与补码相同

各种编码格式的示例：

示例

真值 $+ 10000101$ $- 10101100$
原码 $0\ 10000101$ $1\ 10101100$
补码 $0\ 10000101$ $1\ 01010100$
反码 $0\ 10000101$ $1\ 01010011$
移码 $1\ 10000101$ $0\ 01010100$