《Unity Shader入门精要》自学笔记（二）矩阵、空间以及获取变换矩阵思路的总结

学习目标
了解空间变换时获得新坐标的思路，尽量不深究矩阵的运算

矩阵的基础知识

矩阵是什么

线性代数的本质 - 03 - 矩阵与线性变换（真的没有偷懒）
 

正交矩阵

作用

这是个很有诱惑力的矩阵，因为如果一个矩阵被证明是正交矩阵，那就等价于：
$M^T$$M$ = $I$，$M$$M^T$ = $I$，$M^{-1}$ = $M^T$

 

判断

主要有两种方法判断：

1. 构成矩阵的向量是一组标准正交基（即组成某个坐标系的三个轴的归一化向量）
2. 矩阵只进行了旋转操作

条件太苛刻了，妥协一下：若矩阵是只进行了旋转、统一缩放，那么它需要在等式中乘上$k$或$\frac{1}{k}$

 

 

变换矩阵

基本变换矩阵

平移矩阵

$T_{}$ = $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& Tx\\ 0& 1& 0& Ty\\ 0& 0& 1& Tz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
 

缩放矩阵

$S_{}$ = $\left[\begin{array}{cccc}Sx& 0& 0& 0\\ 0& Sy& 0& 0\\ 0& 0& Sz& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
 

旋转矩阵

绕某一轴旋转 = 在其他两轴所组成的平面进行旋转
 
$R_{x(yoz)}$ = $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
 
$R_{y(zox)}$ = $\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
 
$R_{z(xoy)}$ = $\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
 
$R_x$和$R_z$直接在二维旋转矩阵的基础上插入所绕轴，并用0和1替代
 
$R_y$表现出来的$sin\theta$的正负和$R_x$和 R z R_{z}