自动机解决股票买卖问题（Best Time to Buy and Sell Stock I II III IV等）详细教程

Best Time to Buy and Sell Stock系列问题在面试过程中经常遇到，这里将下面几种问题做一个总结。

（一）自动机概述

有穷自动机（FA）首先包含一个有限状态的集合，还包含了从一个状态到另外一个状态的转换。有穷自动机看上去就像是一个有向图，其中状态是图的节点，而状态转换则是图的边。此外这些状态中还必须有一个初始状态和至少一个接受状态。根据状态转移的性质又分为确定的自动机（DFA）和非确定的自动机（NFA）。

考虑仅由字母{a, b}组成的字符串，要求字符串中字母b必须成对出现，否则字符串非法。这个规则实现起来其实非常简单，不需要自动机也完全可以。但是我们考虑使用自动机来进行判断。顺便，该规则的正规表达式描述是：(a|bb)*。星号运算代表重复若干次，包括零次。

我们考虑做一个图来表示描述该规则的DFA。令状态1为初始状态，显然在状态1上，我们还没有违反规则。因此，经过字母a以后我们还可以回到状态1。经过字母b就不能回到状态1了，此时需要一个新状态，令其为2。

状态2表示“待定的”状态，在这个状态时不能肯定字符串是非法的，但也不是合法的。在状态2上，如果经过字母b，就回到了合法的状态也就是状态1,；如果经过字母a，则该字符串肯定是非法的。建立一个新状态即状态3，用于表示非法状态。

状态3比较简单，已经到了非法状态，其后的任何字母都不会改变这个状态了。因此，该DFA可以表示如下:

（二）leetcode 121: Best Time to Buy and Sell Stock

题意：给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做恰好一次交易，求最大收益。

定义sell表示截止到当天，卖之后能得到的最大收益
定义buy表示截止到当天，买之后能得到的最大收益

状态转换图：

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int buy = -prices[0],sell = 0; //初始化i=0时的状态
        for(int i=1;i<prices.length;i++){  //对于每一天，都更新状态
            sell = Math.max(sell, buy+prices[i]);
            buy = Math.max(buy, -prices[i]);
        }
        return sell;
    }
}

（三）leetcode 122: Best Time to Buy and Sell Stock II

题意：给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做无数次交易，求最大收益。

定义sell表示截止到当天，卖之后能得到的最大收益
定义buy表示截止到当天，买之后能得到的最大收益

状态图：

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int buy = -prices[0],sell = 0;
        for(int i=0;i<prices.length;i++){
            int tmp = sell; //保持上一次的sell ,表示以前卖挣的钱
            sell = Math.max(sell, buy+prices[i]); //卖的状态不变
            buy = Math.max(buy, tmp-prices[i]); //买的状态多了一次从sell到buy
            
        }
        return sell;
    }
}

（四）leetcode 123: Best Time to Buy and Sell Stock III

题意：给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做最多两次交易，求最大收益。

定义sell0表示截止到当天，第一次卖之后能得到的最大收益
定义buy0表示截止到当天，第一次买之后能得到的最大收益

定义sell1表示截止到当天，第二次卖之后能得到的最大收益
定义buy1表示截止到当天，第二次买之后能得到的最大收益

状态图如上图一样，只是从buy–>sell,再从sell->buy最多就一次，不能无数次交易了。

代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int buy0 = -prices[0],sell0 = 0; //第一次买卖
        int buy1 = -Integer.MIN_VALUE,sell1=0; //第二次买卖
        for(int i=0;i<prices.length;i++){
            sell0 = Math.max(sell0, buy0+prices[i]);
            buy0 = Math.max(buy0, -prices[i]); // 0-prices[i]
            
            sell1 = Math.max(sell1, buy1+prices[i]);
            buy1 = Math.max(buy1, sell0-prices[i]); //亏钱买入
        }
        return Math.max(sell0, sell1);
    }
}

（五）leetcode 188: Best Time to Buy and Sell Stock IV

题意：给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做最多K次交易，求最大收益。

状态图如上图所示：只是从buy–>sell,再从sell->buy最多就K次，不能无数次交易了。

定义sell[i]表示截止到当天i，卖之后能得到的最大收益
定义buy[i]表示截止到当天i，买之后能得到的最大收益

代码：

class Solution {
       public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(k==0 || prices.length==0) return 0;
        if(2*k >= prices.length) return umLimit(prices);
        int[] buy = new int[k+1]; //进行k次买卖
        Arrays.fill(buy, Integer.MIN_VALUE); //初始化最小
        buy[1] = -prices[0];
        int[] sell = new int[k+1];
        for(int i=1;i<prices.length;i++){ 
            for(int j=1;j<k+1;j++){
                int tmp = sell[j-1];
                sell[j] = Math.max(sell[j], buy[j]+prices[i]);
                buy[j] = Math.max(buy[j], tmp-prices[i]);
            }
        }
        return Arrays.stream(sell).max().getAsInt(); //返回sell[]中的最大值
    }

    private int umLimit(int[] prices) { //k次买卖比给定的数组长度还大，因此特殊考虑
        int sell = 0,buy = -prices[0]; //初始化一下
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            int tmp = sell;
            sell = Math.max(sell, buy+prices[i]);
            buy = Math.max(buy, tmp-prices[i]);
        }
        return sell;
    }
}

（六）leetcode 309: Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown

题意：给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做无数次交易，但每次卖出之后必须至少休息一天，求最大收益。

定义sell表示截止到当天，卖之后能得到的最大收益
定义buy表示截止到当天，买之后能得到的最大收益
定义rest表示截止到当天，休息之后能得到的最大收益

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int buy = -prices[0];
        int sell = 0,rest=0;
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            int tmp = rest;
            rest = Math.max(sell, rest);
            sell = Math.max(sell, buy+prices[i]);
            buy = Math.max(buy, tmp-prices[i]);
        }
        return Math.max(rest, sell);
    }
}

（七）leetcode 714: Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee

给定一个数组prices，prices[i]表示股票在第i天的价格（买入or卖出），在卖出股票之前必须先买进，且手中不能同时买进两份股票，现在允许做无数次交易，但每次卖出需要支付一定的手续费，求最大收益。

定义sell表示截止到当天，卖之后能得到的最大收益
定义buy表示截止到当天，买之后能得到的最大收益

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) { //题目已经限制prices.length和fee的范围了
        int sell = 0;
        int buy = -prices[0];
        for(int i=0;i<prices.length;i++){
            int tmp = sell;
            sell = Math.max(sell, buy+prices[i]-fee); //挣的钱要减去交易费用
            buy = Math.max(buy,tmp-prices[i]);
        }
        return sell;
    }
}