二分图学习笔记

什么是图？ 这里增加一个link来讲解图

首先二分图https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E5%88%86%E5%9B%BE/9089095是一个无向图 G = ( V, E ），

其次，如果顶点 V 可以分成两个相互不相交的子集（A，B），

 

并且图中的每条边（i, j）所关联的两个顶点 i, j分别属于两个不同的顶点集，

 

则这个图G为一个二分图。

特点：

1.顶点集V可以分成两个不相交的子集（A，B）

2.每条边的两个顶点分别属于两个子集

3.子集内部的顶点不相邻

二分图的匹配

匹配

在二分图G的一个子图M（1,4,5,6,3,7）中，M的边集（1,2,3）中，任意两条边都没有相同的顶点，则称这个子集M是一个匹配。

极大值匹配 

在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数

 

最大匹配

所有极大匹配当中边数最大的一个匹配

完全匹配

一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联

 

如何判断一个图是不是二分图？

染色法

用两种颜色，代表A，B两种集合，标记所有顶点。如果相邻的顶点之间颜色不同，那么这个图就是一个二分图

// 分别用深度优先和广度优先搜索实现
vector<int> G[maxn];  // 存边
int col[maxn];        // 标记顶点颜色
int n,m;         // 点和边的个数
 
bool bfs(){
  queue<int> q;
  q.push(1);     // 放入第一个点
  memset(col,0,sizeof(col));
  col[1] = 1;    // 先标记第一个点为1
  while(!q.empty()){
    int v = q.front();
    q.pop();
    for(int i=0;i<G[v].size();i++){
      int xx = G[v][i];
      if(col[xx] == 0){      // 判断这个点是否标记过
        col[xx] = -col[v];   // 没有标记过就标记上与v相反的颜色
        q.push(xx);
      }
      else{
        if(col[v] == col[xx]){    // 如果颜色冲突说明不是二分图
          return false;
        }
      }
    }
  }
  return true;
}

求二分图的匹配

匈牙利算法和最大流