[ABC242E] (∀x∀)题解

以下事实是显而易见的，但在解决此问题时非常重要。

• 长度的回文 $N$ 由其第一个唯一确定 $\lceil \frac{N}{2}\rceil$ 字符。

现在我们将通过示例来解释解决方案。

首先，我们考虑 $S=$ABCDE. 显然，如果前三个字符在字典顺序上小于或等于，则 ABB$5$-由他们确定的字符回文在字典上小于 $S$ .相反，如果前三个字符在字典顺序上大于或等于，则 ABD$5$-由他们确定的字符回文在字典上大于 $S$.

问题是，如果第一个 $3$ 回文字符是，即如果是？对于此字符串，比较第一个 ABCABCBA$3$ 字符不足以确定回文是否在字典上小于 $S$，所以我们必须实际将此字符串与 $S$.这一次，此字符串在字典顺序上小于或等于 $S$，所以它满足条件。我们必须计算的是回文的数量，其第一个 $3$ 字符为…等等。这些可以以与计算基数整数相同的方式进行计数 AAAAABABBABC$26$（因为每个字符串都可以解释为基数的整数 $26$ 通过查看 A$=0$， B$=1$，…，和Z$=25$.

接下来，让我们考虑一下案例 $S=$DCBA. 这一次，我们可以做几乎相同的讨论。唯一的“问题”是当前两个字符的回文时，即.这一次，此字符串在字典顺序上大于 DCDC CD$S$，因此它不满足条件。

无论如何，可以通过确定以下两个问题来解决问题：

• 有多少回文在字典上比“问题”回文（即，回文，其第一个 $\lceil \frac{N}{2}\rceil$ 字符等于 $S$)?

• “问题”回文是否满足条件？

请注意，根据实现的不同，通过以下方式解决它可能更容易：

• 计算在字典上小于或等于“问题”回文的回文数量
• 将计数递减 $1$ 如果“问题”回文不满足条件

在示例代码中，使用了此方法。

示例代码 （C++）：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
 
using namespace std;
 
int main(){
  int tc;
  cin >> tc;
  while(tc>0){
    tc--;
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;
    long long cres=0;
    string target=s;
    int p=0,q=n-1;
    while(p<q){
      target[q]=target[p];
      p++;q--;
    }
    int last=(n-1)/2;
    for(int i=0;i<=last;i++){
      cres*=26;cres%=mod;
      cres+=(s[i]-'A');cres%=mod;
    }
    cres++;cres%=mod;
    if(s<target){cres+=(mod-1);cres%=mod;}
    cout << cres << '\n';
  }
  return 0;
}