主观逻辑（Subjective Logic, SL）、狄利克雷分布（Dirichlet Distribution）

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主观逻辑（Subjective Logic, SL）和狄利克雷分布（Dirichlet Distribution）是处理不确定性和概率建模的两个重要工具。它们通过将主观意见与概率分布结合，为信任管理和贝叶斯推断提供了数学基础。

1. 主观逻辑（Subjective Logic）

核心概念：
• 主观意见：表示为三元组 $(b, d, u)$ ，其中：
• $b$ ：信任度（belief），支持某命题的证据权重。
• $d$ ：不信任度（disbelief），反对某命题的证据权重。
• $u$ ：不确定性（uncertainty），表示证据不足的程度。
• 满足 $b + d + u = 1$ 。
• 基础率（Base Rate）：先验概率（如无证据时的默认概率），用于将意见映射为概率期望。
• 操作：包括共识（融合多个意见）、折衷（加权合并）、信任传递等。

概率期望：
主观意见的期望概率 $E$ 结合了信任度和不确定性，公式为：
$\cdot u$
其中 $a$ 是基础率（默认均匀分布时为 $1/ k$ ， $k$ 为类别数）。

2. 狄利克雷分布（Dirichlet Distribution）

核心概念：
• 共轭先验：作为多项分布的共轭先验，参数更新可通过直接相加观测数据实现。
• 参数：正实数向量 $\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_k)$ ，表示各类别的“伪计数”。
• 概率密度函数：
$f(\boldsymbol{p}; \boldsymbol{\alpha}) = \frac{1}{B(\boldsymbol{\alpha})} \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i - 1}$
其中 $B(\boldsymbol{\alpha})$ 是多元贝塔函数， $\boldsymbol{p}$ 是概率单纯形中的点（ $\sum p_i = 1$ ）。

性质：
• 期望值： $E[p_i] = \frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^k \alpha_j}$ 。
• 不确定性：浓度参数 $\alpha_0 = \sum \alpha_i$ 越大，分布越集中（不确定性低）。

3. SL 与 Dirichlet 分布的关联

映射关系：
• 主观意见 $(b_1, \dots, b_k, u)$ 可转换为狄利克雷参数 $\boldsymbol{\alpha}$ ：
• 总证据量 $\frac{k}{u} - k$ 。
• 各类别证据数 $r_i = \frac{b_i \cdot k}{u}$ 。
• 狄利克雷参数 $\alpha_i = r_i + 1$ （假设基础率为均匀分布）。

示例（二元情况）：
• 意见 $(b, d, u) = (0.6, 0.2, 0.2)$ ，基础率 $a = 0.5$ ：
• $\frac{2}{0.2} - 2 = 8$ ，总证据数。
• $r_1 = \frac{0.6 \times 2}{0.2} = 6$ ， $r_2 = \frac{0.2 \times 2}{0.2} = 2$ 。
• 对应 Beta 分布（Dirichlet 二元特例）参数： $\alpha = 6 + 1 = 7$ ， $\beta = 2 + 1 = 3$ 。
• 期望概率 $E = 7/ (7 + 3) = 0.7$ ，与主观逻辑计算 $\times 0.2 = 0.7$ 一致。

贝叶斯更新：
• 新证据更新狄利克雷参数（如观察到类别 $j$ ）：
$\alpha_j' = \alpha_j + 1$
• 更新后的主观意见通过逆映射重新计算 $(b^{'}, d^{'}, u^{'})$ 。

4. 区别与协同

• 区别：
• 表达形式：SL 显式分离信任、不信任和不确定性；Dirichlet 通过分布参数隐含不确定性。
• 适用场景：SL 强调主观性和多主体交互；Dirichlet 侧重概率推断。
• 协同：
• SL 意见为 Dirichlet 分布提供了可解释的主观参数化。
• Dirichlet 的共轭性支持 SL 中证据的动态更新。