算法系统学习-----复杂度分析（上）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43983411/article/details/113616382

一、如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

算法解决的根本性问题是执行效率和空间占用率。那么通过监控、时间差为什么不能得出执行效率和空间利用率呢？（事后统计法）他有以下局限性：

1.1、测试结果非常依赖测试环境

硬件的性能的不同，对测试结果影响也特别大。

1.2、测试结果受数据规模的影响很大

如果测试数据规模太小，不能真实反映算法的性能

1.3、时间复杂度的概念

它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势

二、大 O 时间复杂度表示法

 int cal(int n) {
   int sum = 0;   // utime
   int i = 1;     // utime
   for (; i <= n; ++i) {   // n * utime
     sum = sum + i;        // n* utime
   }
   return sum;
 }

假设**每行代码执行的时间都一样，**假设时间为utime。参照以上代码注释，执行时间为（2n+2）utime。
可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
尽管我们不知道 utime 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

大O时间复杂度表示法（也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。）：

T（n） = O（f（n））

其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

三、时间复杂度分析（三个方法）

3.1、只关注循环执行次数最多的一段代码

公式中的可忽略项： 公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。例如以上代码应该为：（2n+2）utime ----> T（n）=O（n）

3.2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度


int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

分析这段代码，分别是求sum_1、sum_2、sum_3的和，最后相加。sum_1执行了99次，是个常数项可以直接忽略。sum_2执行了n次。sum_3执行了 n² 次。
综合考虑，取最大时间复杂度为最后的时间复杂度：T（n）= O（n²）。

3.3、乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

分析以上代码，cal（）方法的时间复杂度是T1（n）=O（n）；但是该方法内还有一个f（）方法，他的时间复杂度是T2（n）=O（n）。
最后的结果是：T（n）=T1（n）* T2（n）=O（n*n）=O（n²）

四、几种常见时间复杂度实例分析

在这里插入图片描述
我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。

4.1、非多项式量级

O（2ⁿ）和O（n！）
因为这两个随着n的增长，它的时间复杂度增长很猛，所以它的执行效率很低。这里不多描述。

4.2、多项式量级

4.2.1、O（1）

这是常量级时间复杂度表示方法，不管是3行，还是10000行，都是常数。只要算法中不存在循环语句、递归语句，统一用O（1）来表示时间复杂度。

4.2.2、O(logn)、O(nlogn)

公式一：(红字部分是推算过程)

公式二：(红字部分是推算过程)

公式三：(红字部分是推算过程)

公式四：(红字部分是推算过程)

公式五：(红字部分是推算过程)

换底公式：(红字部分是推算过程)

换底公式延伸出来的公式：(红字部分是推算过程)

换底公式练习1：(红字部分是推算过程)

换底是没有规定，一般是以10为底，方便书写！

换底公式练习2：(红字部分是推算过程)