小红书2023.07.23提前批笔试题三（连续子数组最大和）

题目描述

小红拿到了一个数组，她希望进行最多一次操作：将一个元素修改为 $x$。小红想知道，最终的连续子数组最大和最大是多少？

第一行输入一个正整数 $t$，代表询问次数。

对于每次询问，输入两行：
第一行输入两个正整数 $n$ 和 $x$。$n$ 代表数组的大小，$x$ 代表小红可以修改成的元素。
第二行输入 $n$ 个正整数 $a_i$，代表小红拿到的数组。

1 ≤ $t$ ≤ 100000
1 ≤ $n$ ≤ 200000
$-10^9\le x,a_i\le 10^9$

输出 $t$ 行，每行输出一个整数，代表连续子数组的最大和。

样例输入

3
5 10
5 -1 -5 -3 2
2 -3
-5 -2
6 10
4 -2 -11 -1 4 -1

样例输出

15
-2
15

第一组询问，修改第二个数，数组变为 {5, 10, -5, -3, 2}，连续子数组的最大和为 $5+10=15$。

第二组询问，不进行任何修改，连续子数组的最大和为 $(-5)+(-2)=-3$。

第三组询问，修改第三个数，数组变为 {4, -2, 10, -1, 4, -1}，连续子数组的最大和为 $4+(-2)+10+(-1)+4=15$。

思路

假设数组为 $arr$ ，长度是 $n$，下标从 $0$ 到 $n-1$。

我们可以先用动态规划算出小红不修改数组时，该数组最大的连续子数组和。

求数组最大的连续子数组和可以参照这篇文章。

然后我们遍历去修改数组的每个元素。假设修改点为 $i$，此时的最大连续子数组和应该是 $[0,i-1]$ 中，以 $arr[i-1]$ 结尾的最大子数组和 $beforeSum$，加上修改点修改后的值 $x$，再加上 $[i+1,n-1]$ 中，以 $arr[i+1]$ 结尾的最大子数组和 $afterSum$。当然这里前提是 $beforeSum$ 和 $afterSum$ 要大于 $0$，不然加一个负数反而使子数组和变小了。

因此我们除了要计算正向最大子数组和，还要计算逆向最大子数组和。

最终从所有计算得到的最大子数组和中输出最大的那个即可。

我们用 $dp1[i](0\le i<n)$ 记录正向的以 $arr[i]$ 结尾的连续子数组的最大和。用 $dp2[i](0\le i<n)$ 记录逆向的以 $arr[i]$ 结尾的连续子数组的最大和。

代码

import java.util.Scanner;

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int t = scanner.nextInt();
        while (t-- > 0) {
            int n = scanner.nextInt();
            int x = scanner.nextInt();

            // 读入数组
            int[] arr = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                arr[i] = scanner.nextInt();
            }

            // 计算小红未修改数组前，最大的子数组和
            // 同时 dp1[i] 记录从前往后以 arr[i] 数结尾的最大子数组和
            int[] dp1 = new int[n];
            dp1[0] = arr[0];
            int maxSum = dp1[0];
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp1[i] = Math.max(dp1[i - 1] + arr[i], arr[i]);
                maxSum = Math.max(maxSum, dp1[i]);
            }

            // dp2[i] 记录的是从后往前以 arr[i] 数结尾的最大子数组和
            int[] dp2 = new int[n];
            dp2[n - 1] = arr[n - 1];
            for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
                dp2[i] = Math.max(dp2[i + 1] + arr[i], arr[i]);
            }

            // 遍历修改点
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                int beforeSum = (i > 0 && dp1[i - 1] > 0) ? dp1[i - 1] : 0;
                int afterSum = (i < n - 1 && dp2[i + 1] > 0) ? dp2[i + 1] : 0;
                maxSum = Math.max(maxSum, beforeSum + x + afterSum);
            }

            System.out.println(maxSum);
        }
    }
}