圆圈中最后剩下的数字：约瑟夫环_约瑟夫环最后剩下的数-优快云博客

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文章讲解了如何使用递归和迭代方法求解LeetCode题目中的圆圈中最后剩下的数字问题，通过函数f(n,m)建模，详细解释了递归关系并提供了两种实现方式：递归版本和迭代版本，以及特殊情况下返回值的处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于官方题解进行了一定的修改和补充。

数学 + 递归

将问题建模为函数 f(n, m)，函数的返回值为最终留下的元素的序号。

长度为 n 的序列会先删除第 m % n 个元素，然后剩下一个长度为 n - 1 的序列。假设对于剩下的 n - 1 个元素，最终会留下第 x 个元素，即 x = f(n - 1, m)。也就是说，对于长度为 n 的序列，删除第 m % n 个元素后，继续向后数了 x 个元素，为最终剩下的元素。因此有 f(n, m) = (m % n + x) % n = (m + x) % n。

递归计算 f(n, m), f(n - 1, m), f(n - 2, m), ... 直到递归的终点 f(1, m)。当序列长度为 1 时，一定会留下唯一的那个元素，它的编号为 0。

class Solution {
    int f(int n, int m) {
        if (n == 1) {
            return 0;
        }
        int x = f(n - 1, m);
        return (m + x) % n;
    }
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        return f(n, m);
    }
};

递归改写为迭代

从 f(1, m) = 0 开始迭代，直到 f(n, m)。根据上文的 f(n, m) = (m + x) % n，可以得到：

f(2, m) = (m + f(1, m)) % 2
f(3, m) = (m + f(2, m)) % 3
···
f(n, m) = (m + f(n - 1, m)) % n

i 取 [2, n]，迭代公式为 f = (m + f) % i。

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int f = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            f = (m + f) % i;
        }
        return f;
    }
};

注意到有的题编号从 1 开始，直接在 return 的结果上加 1 就好了。

有的题有特殊用例，序列长度 n 为 0，题中会提示这种情况返回 -1。