＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第13周--DFS剪枝

罗勇军

已于 2024-01-12 20:43:06 修改

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分类专栏：蓝桥杯软件赛零基础备赛20周文章标签：深度优先蓝桥杯剪枝

于 2024-01-09 21:46:22 首次发布

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报名明年4月蓝桥杯软件赛的同学们，如果你是大一零基础，目前懵懂中，不知该怎么办，可以看看本博客系列：备赛20周合集
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在这里插入图片描述

第13周: DFS剪枝

搜索必剪枝
无剪枝不搜索

1. DFS剪枝概述

DFS是暴力法的直接实现，它把所有可能的状态都搜出来，然后从中找到解。
暴力法往往比较低效，因为它把时间浪费在很多不必要的计算上。
DFS能不能优化？这就是剪枝。剪枝是DFS常用的优化手段，常常能把指数级的复杂度，优化到近似多项式的复杂度。
什么是剪枝？剪枝是一个比喻：把不会产生答案的、不必要的枝条“剪掉”。答案留在没有剪掉的枝条上，只搜索这部分枝条就可以了，从而减少搜索量，提高DFS的效率。用DFS解题时，大多数情况下都需要剪枝，以至于可以说：搜索必剪枝、无剪枝不搜索。
剪枝的关键在于剪枝的判断：剪什么枝、在哪里减。DFS的剪枝技术较多，有可行性剪枝、最优性剪枝、搜索顺序剪枝、排除等效冗余、记忆化搜索等等。
（1）可行性剪枝：对当前状态进行检查，如果当前条件不合法就不再继续，直接返回。
（2）搜索顺序剪枝：搜索树有多个层次和分支，不同的搜索顺序会产生不同的搜索树形态，复杂度也相差很大。
（3）最优性剪枝：在最优化问题的搜索过程中，如果当前花费的代价已超过前面搜索到的最优解，那么本次搜索已经没有继续进行下去的意义，此时停止对当前分支的搜索进行回溯。
（4）排除等效冗余：搜索的不同分支，最后的结果是一样的，那么只搜一个分支就够了。
（5）记忆化搜索：在递归的过程中，有许多分支被反复计算，会大大降低算法的执行效率。用记忆化搜索，将已经计算出来的结果保存起来，以后需要用到的时候直接取出结果，避免重复运算，从而提高了算法的效率。
概括剪枝的总体思想：减少搜索状态。在进一步DFS之前，用剪枝判断，若能够剪枝则直接返回，不再继续DFS。
下面用例题介绍这些剪枝方法。

2. 剪枝例题

2.1 可行性剪枝：数的划分

链接：数的划分

整数划分是经典问题，标准解法是动态规划、母函数，计算复杂度为 $O(n^2)$ 。当n较小时，也可以用DFS暴搜出答案。

《算法竞赛》，清华大学出版社，494页，“7.8.1 普通型母函数”介绍了整数划分的动态规划和母函数解法。

DFS求解整数划分的思路，就是模拟划分的过程。由于题目不用考虑划分数的大小顺序，为了简化划分过程，让k份数从小到大进行。
第一个数肯定是最小的数字1；
第二个数大于等于第一个数，可选1、2、…，最大不能超过(n-1)/(k-1)。设第2个数是x。
第三个数大于等于第二个数，可选x、x+1、…，最大不能超过(n-1-x)/(k-2)。这个最大值的限制就是可行性剪枝。
继续以上划分过程，当划分了k个数，且它们的和为n时，就是一个合法的划分。
C++代码。代码的计算量有多大？可以用变量num记录进入dfs()的次数，当n=200，k=6时，答案是4132096，num=147123026，计算量非常大。
C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,cnt;
void dfs(int x,int sum,int u){
   
     //x:上次分的数; u:已经分了u个数; sum:前面u-1个数的和
    if(u==k){
   
                      //已经分成了k个
        if(sum==n) cnt++;       //k个加起来等于n，这是一个解
        return;
    }
    for(int i=x;sum+i*(k-u)<=n;i++)   //剪枝，i的最大值不超过(n-sum)/(k-u)
        dfs(i,sum+i,u+1);
}
int main(){
   
   
    cin >>n>>k;
    dfs(1,0,0);                       //第一个划分数是1
    cout<<cnt;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
   
   
    static int n, k, cnt;
    public static void dfs(int x, int sum, int u) {
   
   
        if (u == k) {
   
   
            if (sum == n)   cnt++;            
            return;
        }
        for (int i=x; sum + i * (k - u) <= n; i++)   dfs(i, sum + i, u + 1);        
    }
    public static void main(String[] args) {
   
   
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        k = scanner.nextInt();
        dfs(1, 0, 0);
        System.out.println(cnt);
    }
}

Python代码

n, k = map(int, input().split())
cnt =0
def dfs(x, sum, u):  
    global cnt
    if u == k:                   
        if sum == n:   cnt += 1       
        return
    for i in range(x, int((n - sum) / (k - u)) + 1):   
        dfs(i, sum + i, u + 1)
dfs(1, 0, 0)
print(cnt)

2.2 最优性剪枝、可行性剪枝：生日蛋糕

链接：生日蛋糕
侧面积 = $2 π R H$ ，底面积 = $πR^2$ ，体积= $πR^2H$ 。下面的讨论中忽略 $π$ 。
蛋糕的面积=侧面积+上表面面积。在下图中，黑色的是上表面面积之和，它等于最下面一层的底面积。设最下面一层半径是 $i$ ，则黑色的上表面面积之和 $s = i \times i$ 。
在这里插入图片描述
本题用DFS枚举每一层的高度和半径，并做可行性剪枝和最优性剪枝。
设最上面一层是第1层，最下面一层是第m层。从第m层开始DFS。用函数dfs(k, r, h, s, v)枚举所有层，当前处理到第k层，第k层的半径为r，高度为h，s是最底层到第k层的上表面面积，v是最底层到第k层的体积。并预处理数组sk[]、v[]，sk[i]表示第1~第i层的最小侧面面积、vk[i]表示第1~第i层的最小体积。
（1）最优性剪枝1：面积。记录已经得到的最小面积ans，如果在DFS中得到的面积已经大于ans，返回。当前处理到第k层，第k层的半径是r。第k层的体积是 $n-v=r^2h$ ，得 $h=(n-v)/r^2$ ；第k层侧面积 $sc=2rh=2r(n-v)/r^2=2(n-v)/r$ 。剪枝判断：若 $sc + s = 2 (n - v) / r + s \geq an s$ ，返回。
（2）可行性剪枝2：体积。如果当前已经遍历的各层的体积之和已经大于题目给定的体积n，返回。剪枝判断：若 $v + v k [k - 1] > n$ ，返回。
（3）可行性剪枝3：半径和高度。枚举每一层的半径 $i$ 和高度 $j$ 时，应该比下面一层的半径和高度小。第k-1层的体积是 $i^2h$ ，它不能超过 $n - v - v k [k - 1]$ ，由