【分层最短路】行动！行动!

最新推荐文章于 2019-09-08 09:49:05 发布

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本文深入解析分层最短路径算法，一种经典图论问题解决方案，通过拆点技术处理带有限制条件的最短路径问题。文章提供详细算法步骤，包括SPFA算法的应用与代码实现，适用于解决涉及决策路径优化的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

分析

第一次遇到这类题，表示比较不熟悉
但其实这是一类经典题型，即分层最短路
分层最短路，其实就是拆点，由于一个点有多个决策，故我们应该将这个点拆成n个决策点，类似于枚举每种可能性，然后连边跑好spfa即可

还有一种从DP的角度出发的理解，即对于点v，使用了k个血包，有
$d i s [v] [k] = m i n (d i s [p r e [v]] [k] + w, d i s [p r e [v]] [k - 1]), k < K (血包数量)$
跑spfa时由于方向和方程是相反的，所以方程稍作改动即可

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define loop(i,start,end) for(register int i=start;i<=end;++i)
#define clean(arry,num); memset(arry,num,sizeof(arry));
#define min(a,b) ((a>b)?b:a)
const int maxn=100005,maxm=100000+10,maxk=10+5;
int dis[maxn][maxk];
bool vis[maxn][maxk];
int head[maxn];
int cnt=0,n,m,k,s,t;
struct NODE
{
	int e;
	int w;
	int nxt;
	NODE():e(0),w(0),nxt(0){}
	NODE(int e,int w,int nxt):e(e),w(w),nxt(nxt){}
}edge[maxm<<1];
struct node
{
	int pos;int Dis;int used;
	node():pos(0),Dis(0),used(0){}
	node(int pos,int Dis,int used):pos(pos),Dis(Dis),used(used){}
	friend bool operator<(node a,node b)
	{
		return dis[a.pos][0]>dis[b.pos][0];//这个重载好像有点问题
	}
};
inline int read()
{
	int _ans=0;bool _neg=false;char _r=getchar();
	while(_r>'9'||_r<'0'){if(_r=='-')_neg=true;_r=getchar();}
	while(_r>='0'&&_r<='9'){_ans=(_ans<<3)+(_ans<<1)+_r-'0';_r=getchar();}
	return (_neg)?-_ans:_ans;
}
inline void addl(int u,int v,int w)
{
	edge[cnt]=NODE(v,w,head[u]);
	head[u]=cnt++;
}
inline void dijkstra()
{
	clean(vis,false);
	clean(dis,0x7f);
	loop(i,0,k)dis[s][i]=0;
	priority_queue<node>q;
	q.push(node(s,0,0));
	vis[s][0]=true;
	while(!q.empty())
	{
		node _f=q.top();q.pop();
		if(vis[_f.pos][_f.used]==false)continue;
		vis[_f.pos][_f.used]=false;
		for(int i=head[_f.pos];i!=-1;i=edge[i].nxt)
		{
			int _v=edge[i].e;
			if(dis[_v][_f.used]>dis[_f.pos][_f.used]+edge[i].w)//处理当前点不用血包
			{
				dis[_v][_f.used]=dis[_f.pos][_f.used]+edge[i].w;
				if(!vis[_v][_f.used])q.push(node(_v,dis[_v][_f.used],_f.used)),vis[_v][_f.used]=true;
			}
			if(_f.used<k&&dis[_v][_f.used+1]>dis[_f.pos][_f.used])//当前点用血包
			{
				dis[_v][_f.used+1]=dis[_f.pos][_f.used];
				if(!vis[_v][_f.used+1])q.push(node(_v,dis[_v][_f.used+1],_f.used+1)),vis[_v][_f.used+1]=true;
			}
		}
	}
}
//由于每个点只可能拓展出最多两个节点，故最后一定会有某个节点的使用血包数达到k
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("datain.txt","r",stdin);
    #endif
    n=read(),m=read(),k=read(),s=read(),t=read();
    clean(head,-1);
    loop(i,1,m)
    {
    	int a,b,c;
    	a=read(),b=read(),c=read();
    	addl(a,b,c);
    	addl(b,a,c);
	}
	dijkstra();
	int minn=INT_MAX;
	loop(i,0,k)minn=min(dis[t][i],minn);
	printf("%d",minn);
	return 0;
}