极限补充
作为对这篇博客的补充：（自己写的实在是太乱了，看不下去）
I：数列极限
（一）求无穷极限时候定积分和夹逼定理的选择
如果 ∫ b n b 1 = 1 \int{\frac{b_n}{b_1}}=1 ∫b1bn=1， b i b_i bi是分母, 那么就用夹逼定理。
【否则用定积分】
（二）Stolz定理的使用
【介绍】
对于形同 lim n → ∞ a n b n \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n} limn→∞bnan的形式，如果满足某些条件，极限可以化为 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n \lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}} limn→∞bn+1−bnan+1−an
【条件】
- 分母递增并且趋向于无穷 ∗ ∞ \frac{*}{\infty} ∞∗
- 分子分母递减并且都是0 → 0 0 \to\frac{0}{0} →00
(三)洛必达定理和stolz定理注意
【Noitce】
用这两个定理求出来不存在，不能说明原来极限也不存在
【举例如下】
略
无穷小的比阶
（一）等价无穷小
（二）泰勒公式
NOTICE
可不可以先除以几个x，然后再泰勒展开呢？
比如说
e
x
sin
x
−
x
(
1
+
x
)
e^x\sin x-x(1+x)
exsinx−x(1+x)
除
x
x
x,我们可以写成
e
x
(
1
−
x
2
6
+
o
(
x
2
)
)
−
(
1
+
x
)
=
w
x
2
+
o
(
x
2
)
e^x(1-\frac{x^2}{6}+o(x^2))-(1+x)=wx^2+o(x^2)
ex(1−6x2+o(x2))−(1+x)=wx2+o(x2)
推广到普通
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
+
w
(
x
)
u
(
x
)
y=f(x)g(x)+w(x)u(x)
y=f(x)g(x)+w(x)u(x)
假设
g
(
x
)
g(x)
g(x)和
u
(
x
)
u(x)
u(x)是同
k
0
k_0
k0阶无穷小【系数相同】，
f
(
x
)
+
w
(
x
)
f(x)+w(x)
f(x)+w(x)为
k
1
k_1
k1阶
y
是
k
0
+
k
1
阶
y是k_0+k_1阶
y是k0+k1阶
证明
y
x
k
0
=
f
(
x
)
(
c
1
+
o
(
x
)
)
+
w
(
x
)
(
c
1
+
o
(
x
)
)
=
(
c
1
+
o
(
x
)
)
(
f
(
x
)
+
w
(
x
)
)
\begin{aligned} &\frac{y}{x^{k_0}}=f(x)(c_1+o(x))+w(x)(c_1+o(x))\\ &\hspace{0.5cm}=(c_1+o(x))(f(x)+w(x)) \end{aligned}
xk0y=f(x)(c1+o(x))+w(x)(c1+o(x))=(c1+o(x))(f(x)+w(x))
（三）求导
原理
我们假设
f
(
x
)
f(x)
f(x)是
k
k
k阶无穷小，那么有：
f
(
x
)
x
k
=
c
(
c
≠
0
)
\frac{f(x)}{x^k}=c(c\ne0)
xkf(x)=c(c=0)
一直求导，相当于一直在对上面式子进行洛必达。可以对
f
(
x
)
f(x)
f(x)起到降阶的作用。
例题I
e
x
sin
x
−
x
(
1
+
x
)
e^x\sin x-x(1+x)
exsinx−x(1+x)
解答
求一次导，得：
e
x
(
sin
x
+
cos
x
)
−
1
−
2
x
e^x(\sin x+\cos x)-1-2x
ex(sinx+cosx)−1−2x
再求一次导数，得：
e
x
(
2
cos
x
)
−
2
e^x(2\cos x)-2
ex(2cosx)−2
再求：
−
2
e
x
(
cos
x
−
sin
x
)
≠
0
-2e^x(\cos x-\sin x)\ne0
−2ex(cosx−sinx)=0
所以，原来是x的三阶无穷小
（三）注意极限的保号性和单调
单调性
必须在邻域内的每个点都大于0，才是单调。如果只有一个点，不行。
保号性
如果
f
′
(
x
0
)
>
0
f'(x_0)>0
f′(x0)>0,那么
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
>
0
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0
limx→x0x−x0f(x)−f(x0)>0
那么在某个邻域内，这个极限与0的关系保持不变
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