不容易系列之(4)——考新郎

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板…

看来做新郎也不是容易的事情…

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

题解：
首先明白错排的定义：一段序列中一共有n个元素，那么可知这些元素一共有n!种排列方法。假如在进行排列时，原来所有的元素都不在原来的位置，那么称这个排列为错排。而错排数所指的就是在一段有n个元素的序列中，有多少种排列方式是错排。

递归关系：D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2))特别地有D(1)=0,D(2)=1；
错排公式：D(n)=(n!)[(−1)0/0!+(−1)1/(1!)+(−1)2/(2!)+(−1)3/(3!)+…+(−1)n/(n!)]；
其中n!=n∗(n−1)∗(n−2)∗…3∗2∗1特别地有0!=11!=1

递推思想：

​ 一共分为两步

第一步：

​ 错排（不能选择自己本来就在的位置）第一个元素，在n个位置中任选一个位置，有 n-1 种选法。

第二步：

​ 错排其余n-1个元素，也是需要分情况和种类的。因为这需要看第一步的结果，如果第一个元素落在第k个位置上，第二步就需要把k号元素进行错排，k号元素错排位置的不同将导致不同的情况会发生：

①.假设k号元素正好落在了第一个元素的位置，那么就可以将第一个元素和第k个元素完全剔除出去，因为相当于只是他们两者互换了位置，其他元素暂时还没有发生变动。留下来的n-2元素进行错排的话，那么我们就可以得到了D(n-2)种 的错排方式。

②.若k号元素不排到第一个元素的位置，我们可以暂时将现在排在k号位置的第一个元素剔除出去，生下来的就只包含k号元素和原来n-2个的元素了。这时，我们可以将原来的第一个元素的位置看做是现在k号元素的原本位置，因为k号元素不能够放在原来的位置上，所以就相当于是原来的n-2个元素和k共计n-1个元素进行完全的错排。那么一共就有D(n-1)种方法。

综上所述:第二步得到D(n-1)+D(n-2)种方法，第一步是n-1种，由于是分步进行，所以结果为(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)]种方法。

在本题中 在n对新人里面挑出m对新人来错排，那么实际让我们求得就是挑出m对新人的方法乘以m对新人的错排方法。就是下面这个公式。

                                                    Cmn∗(n−1)∗[D(n−1)+D(n−2)]

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long ll;

using namespace std;

ll factorial(int n, int m)  //求组合数
{
    ll ans = 1;
    if(m < n-m)             //因为算c31比算c32速度快，所以在这里优化一下 
        m = n-m;
    for(int i = m+1; i <= n; i++)
        ans *= i;
    for(int j = 1; j <= n - m; j++)
        ans /= j;
    return ans;
}

int main()
{
    int t;
    int n, m;
    ll a[20+5] = {0,0,1};
    int i = 3;
    int temp;

    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> m;
        if( n < m)                                    //还要注意cin>>n>>m是的二者大小
        {
            temp = n;
            n = m;
            m = temp;
        }
        for( ; i <= m; i++)     //错排
            a[i] = (i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
        cout << factorial(n,m)*a[m] << endl;//输出错排*组合数
    }
}