不容易系列之(4)——考新郎

本文深入探讨了错排问题的定义及其数学模型,通过递归关系和错排公式详细解释了如何计算特定数量元素的错排数目。同时,提供了一段AC代码,用于解决在N对新人中M个新郎找错新娘的情况,展示了错排问题的实际应用。

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国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板…

看来做新郎也不是容易的事情…

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C行数据,每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例,请输出一共有多少种发生这种情况的可能,每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

题解:
首先明白错排的定义:一段序列中一共有n个元素,那么可知这些元素一共有n!种排列方法。假如在进行排列时,原来所有的元素都不在原来的位置,那么称这个排列为错排。而错排数所指的就是在一段有n个元素的序列中,有多少种排列方式是错排。

递归关系:D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2))特别地有D(1)=0,D(2)=1;
错排公式:D(n)=(n!)[(−1)0/0!+(−1)1/(1!)+(−1)2/(2!)+(−1)3/(3!)+…+(−1)n/(n!)];
其中n!=n∗(n−1)∗(n−2)∗…3∗2∗1特别地有0!=11!=1

递推思想:

​ 一共分为两步

第一步:

​ 错排(不能选择自己本来就在的位置)第一个元素,在n个位置中任选一个位置,有 n-1 种选法。

第二步:

​ 错排其余n-1个元素,也是需要分情况和种类的。因为这需要看第一步的结果,如果第一个元素落在第k个位置上,第二步就需要把k号元素进行错排,k号元素错排位置的不同将导致不同的情况会发生:

①.假设k号元素正好落在了第一个元素的位置,那么就可以将第一个元素和第k个元素完全剔除出去,因为相当于只是他们两者互换了位置,其他元素暂时还没有发生变动。留下来的n-2元素进行错排的话,那么我们就可以得到了D(n-2)种 的错排方式。

②.若k号元素不排到第一个元素的位置,我们可以暂时将现在排在k号位置的第一个元素剔除出去,生下来的就只包含k号元素和原来n-2个的元素了。这时,我们可以将原来的第一个元素的位置看做是现在k号元素的原本位置,因为k号元素不能够放在原来的位置上,所以就相当于是原来的n-2个元素和k共计n-1个元素进行完全的错排。那么一共就有D(n-1)种方法。

综上所述:第二步得到D(n-1)+D(n-2)种方法,第一步是n-1种,由于是分步进行,所以结果为(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)]种方法。

在本题中 在n对新人里面挑出m对新人来错排,那么实际让我们求得就是挑出m对新人的方法乘以m对新人的错排方法。就是下面这个公式。

                                                    Cmn∗(n−1)∗[D(n−1)+D(n−2)]

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long ll;

using namespace std;

ll factorial(int n, int m)  //求组合数
{
    ll ans = 1;
    if(m < n-m)             //因为算c31比算c32速度快,所以在这里优化一下 
        m = n-m;
    for(int i = m+1; i <= n; i++)
        ans *= i;
    for(int j = 1; j <= n - m; j++)
        ans /= j;
    return ans;
}

int main()
{
    int t;
    int n, m;
    ll a[20+5] = {0,0,1};
    int i = 3;
    int temp;

    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> m;
        if( n < m)                                    //还要注意cin>>n>>m是的二者大小
        {
            temp = n;
            n = m;
            m = temp;
        }
        for( ; i <= m; i++)     //错排
            a[i] = (i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
        cout << factorial(n,m)*a[m] << endl;//输出错排*组合数
    }
}
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