国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:
首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板…
看来做新郎也不是容易的事情…
假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数,然后是C行数据,每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。
Output
对于每个测试实例,请输出一共有多少种发生这种情况的可能,每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
2 2
3 2
Sample Output
1
3
题解:
首先明白错排的定义:一段序列中一共有n个元素,那么可知这些元素一共有n!种排列方法。假如在进行排列时,原来所有的元素都不在原来的位置,那么称这个排列为错排。而错排数所指的就是在一段有n个元素的序列中,有多少种排列方式是错排。
递归关系:D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2))特别地有D(1)=0,D(2)=1;
错排公式:D(n)=(n!)[(−1)0/0!+(−1)1/(1!)+(−1)2/(2!)+(−1)3/(3!)+…+(−1)n/(n!)];
其中n!=n∗(n−1)∗(n−2)∗…3∗2∗1特别地有0!=11!=1
递推思想:
一共分为两步
第一步:
错排(不能选择自己本来就在的位置)第一个元素,在n个位置中任选一个位置,有 n-1 种选法。
第二步:
错排其余n-1个元素,也是需要分情况和种类的。因为这需要看第一步的结果,如果第一个元素落在第k个位置上,第二步就需要把k号元素进行错排,k号元素错排位置的不同将导致不同的情况会发生:
①.假设k号元素正好落在了第一个元素的位置,那么就可以将第一个元素和第k个元素完全剔除出去,因为相当于只是他们两者互换了位置,其他元素暂时还没有发生变动。留下来的n-2元素进行错排的话,那么我们就可以得到了D(n-2)种 的错排方式。
②.若k号元素不排到第一个元素的位置,我们可以暂时将现在排在k号位置的第一个元素剔除出去,生下来的就只包含k号元素和原来n-2个的元素了。这时,我们可以将原来的第一个元素的位置看做是现在k号元素的原本位置,因为k号元素不能够放在原来的位置上,所以就相当于是原来的n-2个元素和k共计n-1个元素进行完全的错排。那么一共就有D(n-1)种方法。
综上所述:第二步得到D(n-1)+D(n-2)种方法,第一步是n-1种,由于是分步进行,所以结果为(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)]种方法。
在本题中 在n对新人里面挑出m对新人来错排,那么实际让我们求得就是挑出m对新人的方法乘以m对新人的错排方法。就是下面这个公式。
Cmn∗(n−1)∗[D(n−1)+D(n−2)]
AC代码
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll factorial(int n, int m) //求组合数
{
ll ans = 1;
if(m < n-m) //因为算c31比算c32速度快,所以在这里优化一下
m = n-m;
for(int i = m+1; i <= n; i++)
ans *= i;
for(int j = 1; j <= n - m; j++)
ans /= j;
return ans;
}
int main()
{
int t;
int n, m;
ll a[20+5] = {0,0,1};
int i = 3;
int temp;
cin >> t;
while(t--)
{
cin >> n >> m;
if( n < m) //还要注意cin>>n>>m是的二者大小
{
temp = n;
n = m;
m = temp;
}
for( ; i <= m; i++) //错排
a[i] = (i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
cout << factorial(n,m)*a[m] << endl;//输出错排*组合数
}
}