2017年哈工大数理逻辑B期末考试参考答案(3)

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文章标签：哈工大数理逻辑 2017 期末考试

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本文详细解析了形式逻辑中的推理证明过程，包括存在量词、全称量词、蕴含关系等概念的应用，通过具体例题展示了如何运用演绎定理进行推理，同时探讨了计算机科学背景下的学生技能推导。

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$七、在 F C 中证明：（ 20 分）$
$(1)\vdash (\exists xP(x)\to \forall xQ(x))\to \forall x(P(x)\to Q(x))$
$只需证\exists xP(x)\to \forall xQ(x)\vdash \forall x(P(x)\to Q(x))\quad 演绎定理$
$1.P(x)\to \exists x P(x)\quad 定理5.2.2\quad 前提$
$2.\forall xQ(x)\to Q(x)\quad 定理5.2.1$
$3.\exists xP(x)\to \forall xQ(x)\vdash \exists xP(x)\to \forall xQ(x)\quad 前提$
$4.\exists xP(x)\to \forall xQ(x)\vdash P(x)\to Q(x)\quad 1,3,2传递$
$5.\exists xP(x)\to \forall xQ(x)\vdash \forall x(P(x)\to Q(x))\quad 4定理5.2.5$
$(2)\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x)))\vdash \exists xP(x)\to Q(y)$
$只需证\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x)\vdash Q(y)\quad 演绎定理$
$1.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x)\vdash \exists xP(x)$
$2.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x);P(x)\vdash P(x)\quad 前提$
$3.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x);P(x)\vdash \forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x)))\quad 前提$
$4.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x)))\to (P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x)))\quad 定理5.2.1$
$5.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x);P(x)\vdash P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))\quad 3,4r_{mp}$
$6.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x);P(x)\vdash \neg (Q(y)\to \neg R(x))\quad 2,5r_{mp}$
$7.\neg Q(y)\to (Q(y)\to \neg R(x))\quad 定理3.1.3$
$8.\neg (Q(y)\to \neg R(x))\to Q(y)\quad 7逆否$
$9.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x);P(x)\vdash Q(y)\quad 6,8r_{mp}$
$10.\forall x(P(x)\to \neg (Q(y)\to \neg R(x))),\exists xP(x)\vdash Q(y)\quad 1,9存在消除$
$八、只要是计算机系的本科生或者研究生，就一定学过 C 语言和 J a v a 语言。$
$如果是学过 C 语言或者 C + + 语言的学生，那么就一定会编程。$
$因此只要是计算机系的本科生，就会编程。$
$将上面三句话分别用谓词公式表示出来，并在 F C 中证明其推理的正确性。（ 15 分）$
$设 x 是全体学生,$
$P (x) 表示 x 是计算机系的本科生, Q (x) 表示 x 是计算机系的研究生,$
$R (x) 表示 x 学过 C 语言, S (x) 表示 x 学过 J a v a 语言,$
$T (x) 表示 x 学过 C + + 语言, U (x) 表示 x 会编程$
$第一句:\forall x((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x))$
$第二句:\forall x(R(x)\lor T(x)\to U(x))$
$第三句:\forall x((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x)),\forall x(R(x)\lor T(x)\to U(x))\vdash \forall x(P(x)\land \neg Q(x) \to U(x))$
$设公式集\Gamma = \{ \forall x((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x)),\forall x(R(x)\lor T(x)\to U(x))\}$
$1.\Gamma;P(x)\land \neg Q(x)\vdash P(x)\land \neg Q(x)\quad 前提$
$2.P(x)\land \neg Q(x)\to (P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\quad 定理3.1.15$
$3.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash (P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\quad 1,2r_{mp}$
$4.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash \forall x((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x))\quad 前提$
$5.\forall x((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x))\to ((P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x))\quad 定理5.2.1$
$6.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash (P(x)\land \neg Q(x))\lor (\neg P(x)\land Q(x))\to R(x)\land S(x)\quad 4,5r_{mp}$
$7.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash R(x)\land S(x)\quad 3,6r_{mp}$
$8.R(x)\land S(x)\to R(x)\quad 定理3.1.16$
$9.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash R(x)\quad 7,8r_{mp}$
$10.R(x)\to R(x)\lor T(x)\quad 定理3.1.15$
$11.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash R(x)\lor T(x)\quad 9,10r_{mp}$
$12.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash \forall x(R(x)\lor T(x)\to U(x))\quad 前提$
$13.\forall x(R(x)\lor T(x)\to U(x))\to (R(x)\lor T(x)\to U(x))\quad 定理5.2.1$
$14.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash R(x)\lor T(x)\to U(x)\quad 12,13r_{mp}$
$15.\Gamma; P(x)\land \neg Q(x)\vdash U(x)\quad 11,14r_{mp}$
$16.\Gamma \vdash P(x)\land \neg Q(x)\to U(x)\quad 15演绎定理$
$17.\Gamma \vdash \forall x(P(x)\land \neg Q(x)\to U(x))\quad 16定理5.2.5$
$综上, 以上推理正确$