常见分布的数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差

概率论六大分布：
（离散）0-1、二项、泊松

​（连续）均匀、指数、正态

数理统计三大分布：
卡方分布、t分布、F分布

分布：	表达式（密度函数）	数学期望	方差
(概率论—离散随机变量)
0–1分布：X~B(1,p)	P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 \large P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1	p	p(1-p)
二项分布：X~B(n,p)	P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯   , n \large P\{X=k\}=C^{k}_{n}p^{k}(1-p)^{n-k}, k=0,1, \cdots, n P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n	np	np(1-p)
泊松分布：X~P(λ)	P { X = k } = e − λ λ k k ! , k = 0 , 1 , ⋯   , λ > 0 \large P\{X=k\}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !}, k=0,1, \cdots, \lambda>0 P{X=k}=e−λk!λk​,k=0,1,⋯,λ>0	λ	λ
(概率论—连续随机变量)
均匀分布：X~U(a,b)	$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{b-a},a<x<b,\\ 0,\text{ 其他 }\end{array}$	(a+b)/2	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布：X~EXP(θ)	$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}(\theta >0)$	θ	${\theta }^2$
正态分布：X~N(μ,σ2)	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(\mu \in R,\sigma >0)$	μ	${\sigma }^2$
标准正态分布：X~N(0,1)	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}(\mu \in R,\sigma >0)$	0	1
(数理统计三大分布)
卡方分布：${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$	${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ ($X\sim N(0,1)$)	n	2n
t-分布：t~t(n)	$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ ($X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$)	0	$\frac{n}{n-2}$
F-分布：F~F(m,n)	$F=\frac{X/m}{Y/n}$ $(X\sim {\chi }^2\left(m\right),Y\sim {\chi }^2\left(n\right))$	$\frac{n}{n-2}$	$\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$