51nod 1033 骨牌覆盖 V2（矩阵快速幂、状压dp）

1033 骨牌覆盖 V2

在mn的一个长方形方格中，用一个12的骨牌排满方格。问有多少种不同的排列方法。（n <= 5)
例如：3 * 2的方格，共有3种不同的排法。（由于方案的数量巨大，只输出 Mod 10^9 + 7 的结果）

输入

2个数M N，中间用空格分隔（2 <= m <= 10^9，2 <= n <= 5）

输出

输出数量 Mod 10^9 + 7

输入样例

2 3

输出样例

3

题解

在一行中，最多有5个空格，两种状态，即竖着放一个骨牌，或横着放一个骨牌，最多有 1<<5 中方案，在第一行中有 8 种合法方案，即合法对应情况为：11110、11011、01111、11000、01100、00110、00011、00000
对应的数值为：30、27、15、24、12、6、3、0
在下一行中，仅仅与上一行存在影响，将每种可行方案更新。
x.v[i][j] 为 m = 1 时，状态 i 到状态 j 是否可行。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, num;
const int maxn = 1 << 5;
struct Matrix {
    ll v[maxn][maxn];
} x;

// rank 阶 矩阵相乘
Matrix mul(Matrix a, Matrix b, int rank) {
    Matrix tmp;
    memset(tmp.v, 0, sizeof(tmp.v));
    for (int i = 0; i < rank; i++) {
        for (int j = 0; j < rank; j++) {
            for (int k = 0; k < rank; k++) {
                tmp.v[i][j] = (tmp.v[i][j] + a.v[i][k] * b.v[k][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return tmp;
}

// 快速幂算法,求 rank 阶 矩阵 res 的 N 次幂
Matrix QuickPower(Matrix res, ll N, int rank) {
    Matrix ans;
    //上面整数的幂的ans初始化为1，
    //对于矩阵的乘法来说，
    //ans应该初始化为单位阵，
    //对于单位矩阵E
    //任何矩阵A*E=A
    for (int i = 0; i < rank; i++) {
        for (int j = 0; j < rank; j++) {
            ans.v[i][j] = (i == j);
        }
    }
    while (N) {
        if (N & 1) {
            ans = mul(ans, res, rank);
        }
        res = mul(res, res, rank);
        N = N >> 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    num = (1 << n);
    int d[33];
    d[0] = d[3] = d[6] = d[12] = d[15] = d[24] = d[27] = d[30] = 1;
    // 对于最多32种情况，仅为 m = 1 的情况，v[i][j]为状态i到状态j是否可行
    for (int i = 0; i < num; i++)
        for (int j = 0; j < num; j++)
            if ((i | j) == num - 1 && d[i & j])
                x.v[i][j] = 1;
    Matrix y = QuickPower(x, m, num);
    cout << y.v[num - 1][num - 1] << endl;
    return 0;
}

代码（别人的代码，说实话这个状压很精妙）

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, num;
const int maxn = 1 << 5;
struct Matrix {
    ll v[maxn][maxn];
} x;

// 矩阵相乘
Matrix mul(Matrix a, Matrix b, int u, int v, int w) {
    Matrix tmp;
    memset(tmp.v, 0, sizeof(tmp.v));
    for (int i = 0; i < u; i++) {
        for (int j = 0; j < v; j++) {
            for (int k = 0; k < w; k++) {
                tmp.v[i][j] = (tmp.v[i][j] + a.v[i][k] * b.v[k][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return tmp;
}

// 快速幂算法, 矩阵 res 的 N 次幂
Matrix QuickPower(Matrix res, ll N) {
    Matrix ans;
    //对于矩阵的乘法来说，
    //ans应该初始化为单位阵，
    //对于单位矩阵E
    //任何矩阵A*E=A
    for (int i = 0; i < maxn; i++) {
        ans.v[i][i] = 1;
    }
    while (N) {
        if (N & 1) {
            ans = mul(ans, res, 1, num, num);
        }
        res = mul(res, res, num, num, num);
        N = N >> 1;
    }
    return ans;
}

void dfs(int i, int j, int k, int u) {
    if (u == n) {
        x.v[i][k]++;
        return;
    }
    if ((j & (1 << u))) {
        dfs(i, j, k, u + 1);
        return;
    }
    dfs(i, j | (1 << u), k | (1 << u), u + 1);
    if (u + 1 < n && !(j & (1 << u)) && !(j & (1 << (u + 1)))) {
        dfs(i, j | (1 << u) | (1 << (u + 1)), k, u + 2);
    }
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    num = (1 << n);
    for (int i = 0; i < num; i++) {
        dfs(i, i, 0, 0);
    }
    Matrix y = QuickPower(x, m);
    cout << y.v[0][0] << endl;
    return 0;
}