刷题Day12小A点菜(动态规划)

前言

 看到这道题以后第一反应是基础递归策略，但是被hack数据卡了时间以后才想到，用DP才能过，否则会被一直卡时间复杂度。毕竟递归下去的时间复杂度为$O(2^n)$.。
 先放题目位置：P1164 小A点菜

下面这个是关键:
然后这里可以放一下这个hack数据:

所以，递归来做肯定是会TLE的

递归式的得出：

 因为有两个变量，N，M这两个变量分别代表了有的菜品个数，以及手上有的钱；这样的话记f[N，M]为在第1到N道菜品中，手上有M元的时候一共可选的方案总数。初始当N=0或者M=0的时候，按照意义来说，是0，但是在M的0的额时候，N从0到n都应该置为1（这个要从后面递推的时候才能发现）。然后，对于f[N，M]考虑第N道菜品，它既可能取也可能不取，当取的时候，其刚好与f[N-1，M-a[N]]的方案数差不多（因为刚好取用完），当不取的时候，对应的方案数为f[N-1，M]。这样，可以得到递推关系为:
         $f[N,M]=f[N-1,M-a[N]]+f[N-1,M]$
 然后这里就可以看到，当m+a[N]的时候，M-a[N]为0，但是这是可以取的且方案数为1，所以，在之前的说明中将M=0的那一列置为1.通过这个递推式一直从$f[1,1]$计算到$f[N,M]$且最终的$f[N,M]$即为结果。
 最后给出我的AC代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>



int main(int argc, char *argv[]) {
	int N,M,i,j;

	scanf("%d%d",&N,&M);
	int a[N+1];
	for(i=1;i<=N;i++)
	  scanf("%d",&a[i]);
	int f[N+1][M+1];
	for(i=1;i<=M;i++)
	  f[0][i]=0;
	for(i=0;i<=N;i++)
	  f[i][0]=1;
	for(i=1;i<=N;i++)
	  for(j=1;j<=M;j++){
	  	if(j-a[i]<0)
	  	  f[i][j]=f[i-1][j]+0;
	  	else
	  	  f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-a[i]];
	  }
	printf("%d",f[N][M]);
	return 0;
}