算法一复杂度

什么是算法

• 算法是用于解决特点问题的一系列的执行步骤

斐波那契数

0 1 1 2 3 5 8 13 21. …

• 求第n个斐波那契数
  • 第一种：递归

  public static int fib(int n) {
  	if(n<=1) {
  		return n ;
  	}
  	return fib(n-1)+fib(n-2);
  	
  }
  
  public static void main(String[] args) {
  	System.out.println(fib(0));
  	System.out.println(fib(1));
  	System.out.println(fib(2));
  	
  }
  
  }
  

输出：011
但是有性能问题

• 第二种方法

public static int fib2(int n) {
		if(n<=1) {
			return n ;
		}
		int first= 0;
		int second =1;
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < n-1; i++) {
			 sum =first + second;
			first = second;
			second = sum;
			
		}
		return sum;
		
	}

一共计算的次数是当前第n个数减一次即n-1,当n>=1时，也就是已经从0 开始计算了，前两步的0+1是必然要走的。当两数相加，其值是下一次相加的第二个数，也就是second,第一次相加的第二个数则为第二次相加的第一个数也就是first.

如何评判一个算法的好坏

• 一般从正确性，可读性，健壮性
• 时间复杂度：估算程序指令的执行次数（执行时间）
• 空间复杂度：估算所需占用的存储空间

时间复杂度的估算

public static void test1(int n) {
		
		
		// 1
		if (n > 10) { 
			System.out.println("n > 10");
		} else if (n > 5) { // 2
			System.out.println("n > 5");
		} else {
			System.out.println("n <= 5"); 
		}
		// int i =0 算一次
		//i <4 算4次
		//i++ 要加4次， 算4次
		//System.out.println("test"); 要执行4次，算4次
		
		// 1 + 4 + 4 + 4
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			System.out.println("test");
		}
		
		//14
		// O(1)
		
	}

	public static void test2(int n) {
		// O(n)
		// 1 + n+n+n
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			System.out.println("test");
		}
	}

	public static void test3(int n) {
		
		
		//1+n+n+n*(1+n+n+n)=1+2n+n+3n^2=1+3n+3n^2
		//O(n^2)
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				System.out.println("test");
			}
		}
	}

	public static void test4(int n) {
		
		
		//1+n+n+n*(1+15+15+15)=1+48n
		// O(n)
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < 15; j++) {
				System.out.println("test");
			}
		}
	}

	public static void test5(int n) {
		// 8 = 2^3
		// 16 = 2^4
		
		// 3 = log2(8)
		// 4 = log2(16)
		
		// 执行次数 = log2(n)
		// O(logn)
		while ((n = n / 2) > 0) {
			System.out.println("test");
		}
	}

	public static void test6(int n) {
		// log5(n)
		// O(logn)
		while ((n = n / 5) > 0) {
			System.out.println("test");
		}
	}

	public static void test7(int n) {
		// 1 + 2*log2(n) + log2(n) * (1 + 3n)
		
		// 1 + 3*log2(n) + 2 * nlog2(n)
		// O(nlogn)
		for (int i = 1; i < n; i += i * 2) {
			// 1 + 3n    i+=i == i=i*2
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				System.out.println("test");
			}
		}
	}

	public static void test10(int n) {
		// 空间：O(n)
		int a = 10;
		int b = 20;
		int c = a + b;
		//要申请n个数组空间
		int[] array = new int[n];
		for (int i = 0; i < array.length; i++) {
			System.out.println(array[i] + c);
		}
	}
	

递归是O(2^N)

一般用大 O表示法来描述 复杂度 ，它表示的 是数据规模 n 对应 的复杂度

• 忽略常数、系低阶
• 9>> O(1)
• 2n+3>> O(n)
• n2+2n+6>> O(n2)
• 4n3+3n2+22n+100>> O(n3)
• 写法上， n3等价于 n^3
• 注意：大 O表示法仅是一种粗略的分析模型，估算能帮助我们短时间内了解个执行效率

对数

• 阶一般省略底log2n=log29∗log9n
• 所以 log2n、log9n统称 为 logn

O(1) 1)< O( logn) < n) < nlogn) < n2) < n3) < 2n) < n!) < nn)

可以借助函数生成工具对比复杂度的大小

• https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.ph php

数据规模小时

数据规模大时

多个数据规模时

O(n+k)