快速幂（例题与详解）

关于快速幂即快速算某个数的多少次幂，我第一次接触时，特别懵比，Leetcode中有一道这样的题，当时用了暴力法，没有通过，超出时间限制。
暴力法：
采用循环乘n个x

class Solution(object):
    def myPow(self, x, n):
        """
        :type x: float
        :type n: int
        :rtype: float
        """
        output = x
        if n>0:
            for i in range(n-1):
                output = output*x
        elif n == 0:
            output= 1
        else:
            for i in range(-n-1):
                output = output*x
            output = 1/output
        return output

---

下面从二进制角度出发，给出快速幂的一种解法：

二进制角度：

如求$x^n$， 对于任何十进制正整数 n ，其二进制为 $1\ast b_1+2\ast b_2+4\ast b_3+...+2^{m-1}\ast b_m$ ，
故：  $x^n=x^{1\ast b_1+2\ast b_2+4\ast b_3+...+2^{m-1}\ast b_m}$
              $=x^{1\ast b_1}\ast x^{2\ast b_2}\ast x^{4\ast b_3}\ast ...x^{2^{m-1}\ast b_m}$

如当n=3时，二进制为：11
$x^3=x^{1\ast 1+2\ast 1}$
      $=x^{1\ast 1}\ast x^{2\ast 1}$

如当n=8时，二进制为：1000
$x^8=x^{1\ast 0+2\ast 0+4\ast 0+8\ast 1}$
      $=x^{1\ast 0}\ast x^{2\ast 0}\ast x^{4\ast 0}\ast x^{8\ast 0}$

因此一个想法是循环赋值操作 $x=x^2$即可
$x^n=x^{n/2}\times x^{n/2}=(x^2{)}^{n/2}$，
如下代码：while循环中，res在二进制位数值为1时执行$res\ast x$操作，每次 x 执行平方操作，n除以2

class Solution:
    def myPow(self, x, n):
        if x == 0.0: return 0.0
        res = 1
        if n < 0: x, n = 1 / x, -n
        while n:
            if n & 1: res *= x
            x *= x
            n >>= 1
        return res

      n&1 （与操作）： 判断 n 二进制最右一位是否为 1，为1则乘以x ；
      n>>1 （移位操作）： n 右移一位（可理解为删除最后一位），即n//2
n//2 需要分为奇偶两种情况：

下面以n=9（1001）为例：

n&1	res=1	x	n>>1(1001)
1	x	$x^2$	100
0	x	$x^4$	10
0	x	$x^8$	1
1	$x\ast x^8=x^9$	$x^{16}$	0

其中$x\ast x^8$中第一个x对应的是1001中低位上的1，$x^8$对应的是高位上的1
以n=8（1000）为例：

n&1	res=1	x	n>>1(1001)
0	1	$x^2$	100
0	1	$x^4$	10
0	1	$x^8$	1
1	$1\ast x^8$	$x^{16}$	0

复杂度分析：
        时间复杂度 O(logn) ： 二分的时间复杂度为对数级别。
        空间复杂度 O(1) ： res, bb 等变量占用常数大小额外空间

递归

当我们要计算 $x^n$时，我们可以先递归地计算出 $y=x^{n//2}$
根据递归计算的结果：

• 如果 n 为偶数，那么 $x^n=y^2$；
• 如果 n 为奇数，那么$x^n=y^2\ast x$

递归的边界为 n = 0，任意数的 0 次方均为 1。

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        def quickMul(N):
            if N == 0:
                return 1.0
            y = quickMul(N // 2)
            return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x
        
        return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)