数据结构与算法之素数的筛选

数据结构与算法之素数的筛选

  素数筛选，顾名思义就是给你一堆数，然后让你找到其中的素数。直观的思路就是针对一个数n，从2开始枚举，一直枚举到n-1。显然这个思路的算法复杂度接近了O(nn),对大规模数据显然是不可接受的。所以我们得优化这个思路，看能否进一步减低算法时间复杂度。
  我们以数字5为例，我们想知道5是否是素数，那么我们从2开始枚举，发现5%2!=0,故继续枚举到3，5%3！=0，故继续枚举到4，5%4！=0。然后循环结束，可知5是一个素数。但我们想要知道100是否是素数时，我们到底需不要从1枚举到99？显然答案是否定的，因为我们只需枚举到10即可，即根号100。因为一个非素数n的约数（递增排列）是分布在$\sqrt{n}$的两侧，所以我们只要枚举$\sqrt{n}$的左侧或右侧即可。故其算法时间复杂度是O(n$\sqrt{n}$)。

bool find_prime(int n){
    
    int sqr=sqrt(1.0*n);
    for(int i=2;i<=sqr;i++){
        if(n%i==0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

  但我们需要从很多数据中挑选出其中的素数时，我们可以采用“埃氏筛法”，时间复杂度是O(nloglogn).

int index=0;
int p[100000];
int maxn=100000;
int f[100000]={0};
for(int i=2;i<max;i++){
    if(f[i]==0)
    p[index++]=i;
    for(int j=i*2;j<max;j+=i){
        f[j]=1;
    }
}其中数组p存储了筛选出来的素数。