动态规划每日题目力扣题目5_宫水三叶力扣-优快云博客

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来自力扣的文章解析：

作者：宫水三叶
链接：https://leetcode.cn/leetbook/read/path-problems-in-dynamic-programming/rtd7d2/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

DP问题五个核心问题：

如何确定可以使用动态规划来求解问题
如何确定本题的状态定义
如何确定状态转移方程
对状态转移的要求
如何分析动态规划时间复杂度

本题动态规划

定义 $f [i] [j]$ 为到达位置 $(i, j)$ 的不同路径数量。
即 $f [m - 1] [n - 1]$ 为所求目标， $f [0] [0] = 1$ 初始条件。
限定只能往下或往右移动

下： $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$
右： $f [i] [j] = f [i] [j - 1]$
能向下和向右，有： $f [i] [j] = f [i] [j - 1] + f [i - 1] [j]$

//代码是自己写的，比较简单
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int f[m][n];
        f[0][0]=1;
        for(int i=0;i<m;i++){
            f[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            f[0][j]=1;
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i>0&&j>0){
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return f[m-1][n-1];
    }
};

复盘五个问题

如何确定可以使用动态规划来求解问题

[有无后效性]：对于某个状态，我们可以只关注状态的值，而不需要关注状态是如何转移过来的话，那么这就是一个无后效性的问题，可以考虑使用 DP 解决。
更实在的技巧：通过 数据范围 来猜测，因为DP是一个递推过程，若数据范围 $10^5 - 10^6$ 可以考虑是不是一维DP，如果数据范围 $10^2 - 10^3$ 可以考虑二维DP。

如何确定本题的状态定义

一部分题目的状态定义是与「结尾」或「答案」有所关联

如何确定状态转移方程

状态转移方程就是对「最后一步的分情况讨论」，一定程度上，状态转移方程可以反过来验证我们状态定义猜得是否正确。如果猜了一个状态定义，然后发现无法列出涵盖所有情况（不漏）的状态转移方程，多半就是状态定义猜错了。

对状态转移的要求

是求最值的话，我们只需要确保「不漏」
是求方案数的话，我们需要确保「不重不漏」

如何分析动态规划时间复杂度

复杂度/计算量分析，有多少个状态，复杂度/计算量就是多少。一维 DP 的复杂度通常是线性的 $O (n)$ ，而二维 DP 的复杂度通常是平方的 $O(n^2)$

拓展

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多了某些格子有障碍物（不可达）的限制

//代码是自己写的，比较简单
class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        int f[m][n];
        //f[0][0]=1;
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                f[i][j]=0;
            }
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            if(obstacleGrid[i][0]==1){
                f[i][0]=0;
                break;
            }
            else{
                f[i][0]=1;
            }
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(obstacleGrid[0][j]==1){
                f[0][j]=0;
                break;
            }
            else{
                f[0][j]=1;
            }
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(obstacleGrid[i][j]==1){
                    f[i][j]=0;
                }
                else if(i>0&&j>0){
                    f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return f[m-1][n-1];
    }
};

作者：宫水三叶
链接：https://leetcode.cn/leetbook/read/path-problems-in-dynamic-programming/rtd7d2/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        int f[m][n];
        f[0][0]=grid[0][0];
        for(int i=1;i<m;i++){
                f[i][0]=f[i-1][0]+grid[i][0];
        }
        for(int j=1;j<n;j++){
                f[0][j]=f[0][j-1]+grid[0][j];
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                if(i>0&&j>0){
                    f[i][j] = f[i - 1][j] < f[i][j - 1] ? f[i - 1][j] : f[i][j - 1];
                    f[i][j]+=grid[i][j];
                }
                    
            }
        }
        return f[m-1][n-1];
    }
};

解析

在不同路径上增加了路径成本概念。

定义 $f [i] [j]$ 为到达位置 $(i, j)$ 的最小总和。
即 $f [m - 1] [n - 1]$ 为所求目标， $f [0] [0] = g i r d [0] [0]$ 初始条件。
限定只能往下或往右移动

下： $f [i] [j] = f [i - 1] [j] + g i r d [i] [j]$
右： $f [i] [j] = f [i] [j - 1] + g i r d [i] [j]$
能向下和向右，有： $f [i] [j] = min (f [i] [j - 1], f [i - 1] [j]) + + g i r d [i] [j]$

时间复杂度： $O (n * m)$
空间复杂度： $O (n * m)$

进阶

如果要输出总和最低的路径呢
从原问题我们知道，我们需要从 $(0, 0)$ 一步步到达位置 $(m - 1, n - 1)$ ，也就是我们需要扫描完整个方块（转移完所有的状态），才能得到答案，可以使用额外的数据结构来记录，我们是如何一步步转移到 $(m - 1, n - 1)$ 。
当整个 DP 过程结束后，我们再用辅助记录的数据结构来回推我们的路径。由于照路径的过程是「倒着」，而输出需要「顺着」。如果希望简化找路径的过程，我们需要对原问题进行等价转换。