数据结构-树状数组的原理及应用

1. 树状数组的作用： ①区间查询 ②单点修改

2.定义 设树状数组为tr[N] 1<=i<=N

2.1 tr[i] 存储的是 (i - lowbit(i) , i ] 区间的和 例图

	lowbit(i) ：设k为i的二进制表示末尾的0的个数 ， lowbit(i) 表示： 2的k次方 
	函数编写如下:  
	lowbit(int i){
		return i & -i;
	}

2.2 可以证明一个节点x的父节点序列号为 x + lowbit(x),一个节点x的子节点序列号为 x-lowbit(x).

3.基本操作

3. 1 查询操作 对一个位置x 需要查询(0,x]位置所有元素的和

1. 我们知道 tr[x] = ( lowbit(x),x];
2. 通过递归的带入 tr[x-lowbit(x)],可以求得 (0,x]位置所有元素的和
3. 代码如下

int query(int x){
	long res = 0;
	for(int i = x;i>0;i-=lowbit(x)) res += tr[i];
	return res;
}

3.2 修改操作 对原数组某一个元素的修改转化为对树状数组的节点及其所有父节点的修改

代码如下

//pos表示修改的位置，v表示对改数组元素进行操作的数值 默认为+
public update(int pos,int v){
	for(int i = pos ;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=v;
}

4.例题 动态区间连续和 https://www.acwing.com/problem/content/1266/

前缀和算法s[i] = s[i-1] + a[i]也可以求前缀和，在有修改元素的情况下算法复杂度为o(n),而动态数组在有修改元素的情况下算法复杂度为o(logn)，所以选择性能好的树状数组

代码如下

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class acwing1264_2 {
    //用树状数组来解决
    static int N = 100010;
    static int [] arr = new int[N];
    static int [] tr = new int[N];
    static int n,m;
    static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));


    public static int lowbit(int x){
        //k = x末尾有几个零
        return x & -x;
    }
    public static void add(int x,int v){
        //原数组元素a[x]做加法，会影响树状数组tr[x] 及 tr[x]的所有父亲节点
        for(int i = x ; i<=n ;i+=lowbit(i)) tr[i] += v;

    }
    public static long query(int x){
        //计算[1,x]区间的和
        long res = 0;
        for(int i = x ;i>0;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        String[] s = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(s[0]);
        m = Integer.parseInt(s[1]);
        String[] s1 = in.readLine().split(" ");
        for(int i=1;i<=n;i++) arr[i] = Integer.valueOf(s1[i-1]);
        //初始化梳妆数组
        for(int i=1;i<=n;i++) add(i,arr[i]);
        for(int i=0;i<m;i++){
            String[] s2 = in.readLine().split(" ");
            int op = Integer.valueOf(s2[0]);
            int num1 = Integer.valueOf(s2[1]);
            int num2 = Integer.valueOf(s2[2]);
            if(op==1){
                add(num1,num2);
            }else {
                System.out.println(query(num2)-query(num1-1));
            }
        }
    }
}