链式前向星解决最远距离问题

题目描述

实验室里原先有一台电脑(编号为1)，最近氪金带师咕咕东又为实验室购置了N-1台电脑，编号为2到N。每台电脑都用网线连接到一台先前安装的电脑上。但是咕咕东担心网速太慢，他希望知道第i台电脑到其他电脑的最大网线长度，但是可怜的咕咕东在不久前刚刚遭受了宇宙射线的降智打击，请你帮帮他。

Input

输入文件包含多组测试数据。对于每组测试数据，第一行一个整数N (N<=10000)，接下来有N-1行，每一行两个数，对于第i行的两个数，它们表示与i号电脑连接的电脑编号以及它们之间网线的长度。网线的总长度不会超过10^9，每个数之间用一个空格隔开。

Output

对于每组测试数据输出N行，第i行表示i号电脑的答案 (1<=i<=N).

Sample Input

5
1 1
2 1
3 1
1 1

Sample Output

3
2
3
4
4

解题思路

首先看到题，可以抽象为一个图的问题（每台电脑是点，每根网线是边），并且是一个无向图。为了表示边和点的关系，需要采用邻接矩阵，邻接链表的方式来存储。但是这里有一种新的简便的方法——链式前向星，即通过数组的方式来表示链表。每一个数组元素对应一个点，其中存放的是邻接边的序号，然后根据此序号访问下一条边，直到序号为-1（结尾标志）。
想清楚用什么表示以后，需要确定计算的方法。要计算每一个点到其它点的最远距离，首先的想法是依次遍历每个点，用bfs的方式求出最远的距离。但这样时间复杂度太高，每个店都需要计算一次最远距离。
一种新的做法是利用图的直径——相距最远的两个点之间的距离。图中任意点的最远距离一定是到这两个点其中之一的距离。那么问题就简单了，先根据任一点找到最远距离，然后再根据找到的这个点遍历得到直径的另一个端点，再用这个端点遍历图的每一个顶点，最后比较直径两个端点到达每个点的距离，取出大的那一条边，即是该点的最大距离。
这样只用了三次遍历即可得到结果，大大降低复杂度。这里使用的遍历方式是dfs。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=10010;
int head[MAXN],vis[MAXN],ans[MAXN],ans1[MAXN];
int tot=0;//定义链式前向星的数组,tot是Edges的下标 
struct Edge
{
	int u,v,w,nxt;//出发点，到达点，权值，下一个点 
}Edges[MAXN]; 
int v1=1;//记录遍历到达最远的点 
void addEdge(int u,int v,int w)
{
	Edges[tot].u=u;
	Edges[tot].v=v;
	Edges[tot].w=w;
	Edges[tot].nxt=head[u];//在数组首位插入 
	head[u]=tot;
	tot++;
}
void dfs(int u,int length,int *dis)
{
	dis[u]=length;
	vis[u]=1;
	if(dis[u]>dis[v1])
	    v1=u;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=Edges[i].nxt)
	{
		if(!vis[Edges[i].v])
			dfs(Edges[i].v,length+Edges[i].w,dis);		
	} 
}
int main()
{
	int N,a,b;
	while(cin>>N)
	{
	    memset(head,-1,sizeof(head)); //初始化 
	    for(int i=2;i<=N;i++)
	    {
		    cin>>a>>b;
		    addEdge(i,a,b);//无向图，所以插两次边 
		    addEdge(a,i,b);
	    }
	    memset(vis,0,sizeof(vis));//标记每个点均为未到达 
		dfs(1,0,ans);
		
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		dfs(v1,0,ans);
		
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		dfs(v1,0,ans1);
		for(int i=1;i<=N;i++)
		    cout<<max(ans[i],ans1[i])<<endl;
	}
	return 0;
}

反思与感悟

1. 变量定义在静态区域（const），会提高代码的效率，并且初始化一个数组时使用memset比for循环效率更高。
2. 写代码时一定要关注时间复杂度，不要放过任何一个降低复杂度的机会，因为可能因为任何一个地方导致TLE。