【区间选点 II】差分约束

题目

题意
给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点
使用差分约束系统的解法解决这道题
Input
输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。
Output
输出一个整数表示最少选取的点的个数
Sample Input
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
Sample Output
6

题目大意

本题是之前做过的一道原题，当时是用贪心的算法求解，这里是差分约束的方法。贪心求解本题链接：传送门
题目大意还是给定若干个区间，并给出每个区间内至少要选取的点数，问最终最少选多少个点满足每个区间上的条件。
另外这里还附上学长推荐的差分约束问题相关博客：SPFA解差分约束问题

解题思路

相比于贪心求解的方法，本题确实不容易想到可以用差分约束的方法。差分约束的关键就是要找到形如 Xi - Xj ≤ W 的约束条件，从而构造一条由 Xi 指向 Xj 的权值为 W 的边，由此用最短路算法得到的 dis[i] 就是差分约束问题的一组解。在差分约束问题中一定要注意最短路算法起点的选取，要根据题目理解问题，毕竟最终的 dis[i] 是需要的结果。
本题也可以转化为差分约束问题解决。我们可以看到对于区间 [i,j] ，j 之前区域包含的点的总数与 i 之前的区域包含的点的总数只差至少为 该段区间的 W 。这样便可以转换为差分约束问题，同时求解十分简便，即 sum[j] - sum[i-1] ≥ W 。之后符号取反就是典型的差分约束问题了。另外还需要特别注意题目隐含着 0 ≤ sum[i] - sum[i-1] ≤ 1 这个条件，所以在构造边的时候一定要加上。构造完成后用SPFA算法跑一遍最短路，得到最右端点的 dis 值就是答案。

具体代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#define ll long long
#define MAXN 50005
#define inf 1e9

using namespace std;

int tot,head[4*MAXN],vis[3*MAXN],dis[3*MAXN];

struct Edge{
	int nxt;
	int to;
	int w;
}edge[4*MAXN]; 

void add(int u, int v, int w)
{
	edge[++tot].nxt = head[u];
	edge[tot].to = v;
	edge[tot].w = w;
	head[u] = tot;
}

void spfa(int s, int e)
{
	for(int i = 0; i < 3*MAXN; i++)
	{
		vis[i] = 0;
		dis[i] = inf;
	}
	queue<int> q;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	dis[s] = 0;
	while(!q.empty())
	{
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for(int i = head[x]; i != 0; i = edge[i].nxt)
		{
			int y = edge[i].to;
			if(dis[x] + edge[i].w < dis[y])
			{
				dis[y] = dis[x] + edge[i].w;
				if(!vis[y])
				{
					vis[y] = 1;
					q.push(y);
				}
			}
		}
	}
}

int main()
{
	tot = 0;
	memset(head,0,sizeof(head));
	int n,a,b,c;
	int s = inf, e = -1;
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> a >> b >> c;
		s = min(s,a-1);
		e = max(e,b);
		add(a-1,b,-c);
	}
	for(int i = s+1; i <= e+1; i++)
	{
		add(i,i-1,1);
		add(i-1,i,0);
	}
	spfa(s,e);
	cout << -dis[e] << endl;
    return 0;
}