博弈论汇总

组合游戏

什么是组合游戏：

组合游戏需要有以下特点：

• 1.题目描述一般为A,B两人做游戏
• 2.AB交替进行某种游戏规则的操作，每次操作选手可以在有限的操作集合中选取一种。
• 3.游戏的任意一种局面的合法操作集合只与这个局面本身有关，不取决与其他因素，如选手,以前的操作
• 4.如果当前选手无法进行合法的操作时，该选手判负

N/P

• 必胜点N：处于该点的选手必胜。
• 必败点P：处于该点的选手必败

组合游戏有向图模型

任意一种组合游戏都能转化为一种有向图。组合游戏的每种状态都对应该有向图中的某个点。该图中没有出度的点为P点，每种操作如从一种状态转向另一种状态，则让这两个状态的点连一条有向边。则该组合游戏就变成成了在图中走点，判断谁会到P点的游戏。

SG函数与SG定理

初学sg函数

• 定义：$sg[x]=mex(sg[y1],sg[y2],sg[y3]\dots \dots )$，其中y1y2y3……为x的后继结点。
• mex运算：$mex(S)$ 表示集合 $S$ 中没有出现过的最小非负整数。
• 结论：$sg=0$ 的点为必败点，$sg\ne 0$ 的点为必胜点。
• 个人理解： 如果 $x$ 的后继结点中有 $sg$ 值为0的结点，那么 $sg[x]$ 的值就不会为 0，$x$ 为必胜点，因为处于 $x$ 状态的人可以走向后继结点 $sg$ 值为 0 的点，使得对方面对必败点；如果 $x$ 的后继结点中没有 $sg$ 值为 0 的结点，那么 $sg[x]$ 的值就会为 0，$x$ 为必败点，因为处于 $x$ 状态无论往哪个后继状态移动，都将令对方面对必胜点。

sg函数打表(求出所有状态的sg值)

int main() {
	memset(sg,0,sizeof(sg));
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=0; j<=n; j++)vis[j]=0; //清0
		for(/*后继状态*/) {
			vis[sg[i-j]]=1;
		}
		for(int j=0; 1; j++) { //mex找到最小非负整数
			if(vis[j]==0) {
				sg[i]=j;
				break;
			}
		}
	}
}

SG定理

• 定理描述： 一个游戏的SG值等于该游戏包含的各个子游戏的 SG 值的异或和。ps：异或和的运算优先级较低，记得加括号防自闭。

SG 打表练习题

例题1：sg 打表模板

• 题目描述： 有 n 张牌，A 和 B 从 A 开始，依次抽取 k 张牌（ k 需要等于 2 的次幂，1，2，4，8……），谁无法操作就输。在二者足够聪明下，谁赢？
• 问题分析： 使用 sg 函数，显然必败点 sg[0]=0，x的后继结点为 $x-2^j$ ，sg 打表，最后判断 $sg[n]$ 是否为 0 即可。

int main() {
	int n;
	memset(sg,0,sizeof(sg));
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=0; j<=n; j++)vis[j]=0; //清0
		for(int j=1; j<=n; j=j<<1) { //(sg[y1],sg[y2]……)
			if(i<j)break;
			vis[sg[i-j]]=1;
		}
		for(int j=0; 1; j++) { //mex
			if(vis[j]==0) {
				sg[i]=j;
				break;
			}
		}
	}
	if(sg[n]==0)cout<<"Cici"<<endl;
	else cout<<"Kiki"<<endl;
}

例题2：SG打表+SG定理

• 题目描述：有堆石头，石头数量分别为m,n,p，A和B从A开始，依次抽取k个石头（k需要等于斐波那契数列，1，2，3，5，8……），谁无法操作就输。在二者足够聪明下，谁赢？
• 问题分析：使用 sg 函数，显然必败点 $sg[0]=0$，x 的后继结点为 $x-f[j]$，sg 打表。该 SG 包含三个子游戏，即单独的三堆石子分别玩，那么该游戏的 SG 值即为三个子游戏 SG 值的异或和。判断异或和的正负即可。

int main() {
	f[1]=1;
	f[2]=2;
	for(int i=3; i<=20; i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];

	memset(sg,0,sizeof(sg));
	for(int i=1; i<=2000; i++) {
		for(int j=0; j<=2000; j++)vis[j]=0; //清0
		for(int j=1; j<=20; j++) { //(sg[y1],sg[y2]……)
			if(i<f[j])break;
			vis[sg[i-f[j]]]=1;
		}
		for(int j=0; 1; j++) { //mex
			if(vis[j]==0) {
				sg[i]=j;
				break;
			}
		}
	}
	int m,n,p;
	cin>>m>>n>>p;
	if(m==0&&n==0&&p==0)return 0;
	if((sg[m]^sg[n]^sg[p])!=0)cout<<"Fibo"<<endl;
	else cout<<"Nacci"<<endl;
}

NIM博弈模型分析

模式一

• 模型描述： 一堆石子共 n 个，A 和 B 从 A 开始，依次取走 x 个石子，$x\in [1,m]$。谁赢？
• 模型分析：
• 使用 sg 打表可以 $O(nm)$ 暴力解。
• 如果先手取走 x 个石子，后手可以选择 $(m+1-x)$ 个石子。使得每轮都有 $(m+1)$ 的消耗。那么若 $n$ 为 $m+1$ 的倍数，则后手显然必胜；若 $n$ 不为 $m+1$ 的倍数，则先手可先取走 $n\%(m+1)$ 个石子，使得剩下的石子为 $m+1$ 的倍数，而此时先手成为了后手，即先手必胜。
• $sg$ 打表发现 ：$g[x]=x\%(m+1)$，（记这个）

模型二

• 模型描述： 有 n 堆石子，每堆石子分别为 $a_i$ ，A 和 B 从 A 开始，依次选择一堆石子，并取走该堆中的 x 个石子，$x\in [1,m]$。谁赢？
• 模型分析： n 堆石子可以看成 n 个子游戏即模式 1 。$sg$ 定理异或和求总游戏的 $sg$ 值即可。

模式三

• 模型描述： 一堆石子共 n 个，A 和 B 从 A 开始，依次取走任意个（>0）。谁赢？
• 模型分析： 很显然，先手直接拿光即先手必胜。考虑分析 sg 函数，发现：$sg[x]=x$，符合模型一的结论

模型四

• 模型描述： 有 n 堆石子，每堆石子分别为 $a_i$，A 和 B 从 A 开始，依次选择一堆石子，并取走该堆中的任意个石子（>0）。谁赢？
• 模型分析： n 堆石子可以看出 n 个子游戏即模式三。$sg$ 定理异或和求总游戏的 $sg$ 值即可。

模型五（前四个的统一）

• 模型描述： 有 n 堆石子，每堆石子分别为 $a_i$，A 和 B 从 A 开始，依次选择一堆石子，并取走该堆中的 x 个石子，$x\in [1,l_i]$ 。谁赢？
• 模型分析： n 堆石子可以看出 n 个子游戏即模式一。求出每个游戏的 $sg$ 值，异或和求总游戏的 $sg$ 即可。

练习题二：NIM深入

例题1：变形NIM游戏

• 题目描述： $0-n$ 的一维数轴上放有 m 个石子，每个石子所在的位置分别为 $x_i$，每个位置可放多个石头。A 和 B 从 A 开始，依次选取一个石子，并将其任意放在其左边的任意一个位置，0 处的石子不能再移至更左边。谁无法操作就输。在二者足够聪明下，谁赢？
• 问题分析： 将一个石子往左边移动 x 步就相当于取石子游戏中拿走 x 个石子，可以移动任意步即取走任意个，即模型三，则 $sg[x_i]=x_i$。m 个石子对应 m 个子游戏，判断总游戏的 sg 值即可。

例题2：可行方案计数

• 模型描述： 有 n 堆石子，每堆石子分别为 $a_i$，A 和 B 从 A 开始，依次选择一堆石子，并取走该堆中的任意个石子（>0）。若 A 能赢，请输出 A 第一步可行的方案数；否则输出0。
• 模型分析： 求出总游戏的异或和 $sg$ 值。再一次扫描每堆石子，可行方案等价于：可以取走 x 个石子使得剩下局面变为必败局面，即：$sg\oplus a_i\oplus (a_i-x)=0<=>sg\oplus a_i=a_i-x$，我们只需要依次判断是否存在这样的 x 即可，也就是 $sg\oplus a_i<a_i$

int main() {
	int n,sum=0,ans=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin>>a[i];
		sum=sum^a[i];
	}
	if(sum==0)cout<<0<<endl;
	else {
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			if((sum^a[i])<a[i])ans++;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}