尺取与分数规划

尺取

基本知识

形如：区间越大越容易符合条件/不符合条件。这样的问题，可以进行尺取。

对于一个 $l$ ，找到第一个满足的 $r$ ，显然 $l,r$ 都是单调不减的。

例题练习1

例题1： $n$ 个非负整数，求最小区间，使得区间和 $>=S$ 。

分析： 越大越容易满足，对于每个 $l$ ，找到第一个满足的 $r$

int ans=1e9,sum=0;
for(int i=1,j=0;i<=n;i++) {
	while(j<n&&sum<s)sum+=a[++j];
	if(sum<s)break; 
	ans=min(ans,j-i+1);
	sum-=a[i]; 
}

例题2： $n$ 个数 $a_i$ ，值域为 $[1,m]$ 。求最小区间，使得 $a_i$ 在 $[1,m]$ 中至少都出现一次。

分析： 同样是越大越容易满足，维护一个桶即可。

int ans=1e9,num=0;
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
	while(j<n&&num<m){
		count[a[++j]]++;
		if(count[a[j]]==1)num++;
	} 
	if(num<m)break; 
	ans=min(ans,j-i+1);
	count[a[i]]--;
	if(count[a[i]]==0)num--;
}

例题3： $n$ 个数 $a_i$ ，求 $gcd>1$ 的区间的最大长度。

分析： 越小越容易满足，每次找到一个最大且满足的即可。区间 $gcd$ 可以用 $st$ 表快速维护。

例题4： $n$ 个数 $a_i$ ，求比 $mid$ 大的数，$>=k$ 个，的区间个数

分析： 越大越容易满足，每次找到一个最小且满足的 $r$，$r\in [r,n]$ 均满足。

例题练习2：

例题1： $n$ 个数，$a_i$ ，求区间和的绝对值与 $k$ 相差最小为多少，并输出这个区间。

分析：

• 对前缀和排序，这样两个数的差值，就对应一个区间和。
• 而且符合单调性，两个数越远，差值越大。
• 每次找到第一个差值 $>=k$ 的 $r$，以及第一个差值 $<=k$ 的 $r$，即可。

例题2： 给定 $n$ 个人的成绩 $a_i,b_i$ ，每个人要么考到 $a_i$，要么考到 $b_i$ 。定义及格为：$>=$ $n$ 个人中最高分的 $p\%$ 。求最多多少人及格。

分析：

• 将所有成绩放一起，从小到大排序。
• 找到一个符合条件的区间，使得包含更多人的成绩。
• 显然区间越大，越不容易满足题意，因此可以尺取。
• 枚举 $r$ ，左端点尺取到最后一个 $l$ ，满足 $v[l]>=v[r]\times p\%$ （并且 $l,r$ 不属于同一个人成绩），然后检查 $[l,r]$ 内有多少人的成绩即可。

分数规划

基本知识

模型：

形如：$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\times w_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\times w_i}$ ，$w_i\in 0,1$ 。要求最大化/最小化该式子。

求解：

二分 $mid$ ，去 $check$ $\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\times w_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\times w_i}>=mid$ 。

令第 $i$ 个数为 $a_i-mid\times b_i$ ，问题就变成选择若干个数，使得权值和 $>=0$ 。

例题练习

例题1： 限制取 $k$ 个数，最大化式子。

分析： 显然取最大 $k$ 个。

例题2： 限制分母 $>=v$ ，最大化式子。

分析： 将 $b_i$ 看做重量，$a_i-mid\times b_i$ 看成价值，背包求 $f[V+]$ 的最大值，即可。

int check(double mid){
	for(int j=1;j<=V;j++)f[j]=-1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=V;j>=0;j--){
			int t=min(V,j+b[i]);//把f[V+]的最大值堆到f[i]身上
			f[t]=max(f[t],f[j]+a[i]-mid*b[i]);
		}
	}
	return f[V]>=0;
}

例题3： 给定 $n$ 个点的一棵树，每个点有权值 $a_i,b_i$ ，求所有环上 $\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$ 最大为多少。

分析：

• 等价于 $\sum a_i-b_i\times mid>=0$ ，等价于 $\sum b_i\times mid-a_i<=0$
• 将 $b_i\times mid-a_i$ 当成点权，问题就变成：检查是否存在负环，$spfa$ 检查即可。

int check(double mid) {
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dis[i]=0;
		cnt[i]=vis[1]=1;
		q.push(i);//由于图不一定连通，将所有点入队
	}
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front();
		vis[u]=0;
		for(int i=vex[u]; i; i=e[i].next) {
			int v=e[i].v;
			if(dis[v]>dis[u]+mid*b[u]-a[u]) {
				dis[v]=dis[u]+mid*b[u]-a[u];
				cnt[v]=cnt[u]+1;
				if(cnt[v]>n)return 1;
				if(!vis[v]) {
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
		q.pop();
	}
	return 0;
}

例题4： 求区间最小平均值。

分析：

• $\frac{{\sum }_{i=l}^r{a}_i}{r-l+1}=\frac{{\sum }_{i=l}^r{a}_i}{{\sum }_{i=l}^{r}1}$
• 二分 $mid$ ，问题转化为：${\sum }_{i=l}^r{a}_i-mid<=0$ ，即最小字段和是否 $<=0$ 。

例题5： 求区间最大平均值。

分析： 同样的分析？？？不不不，区间最大平均值为区间最大值。