MIT_线性代数笔记：第 34 讲 总复习

本讲为线性代数课程总复习，复习的方法就是做往年试题。

试题1

1）已知 Ax=$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ 无解，Ax=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$仅有一解。

a）这个矩阵为 m x n 矩阵，秩为 r，那么 m 是多少？r？

答：m=3。Ax=$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$无解,说明 r小于m，Ax=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$仅有一解,说明矩阵零空间只有零向量，所以 r=n。例如 A=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ 或者 A=$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

知识点：

b）判断 $det(A^{T}A)=det(A{A}^T)$是否成立？
答：不成立。可以看下面两题的答案，分别是可逆和不可逆的矩阵。需要注意的是：只有当矩阵是方阵时，才有行列式的的乘积等于乘积的行列式。

c）$A^{T}A$是否可逆？
答：可逆，矩阵 A 列满秩 r=n，因此 A T A A^TA