MIT_线性代数笔记：第 22 讲 对角化和矩阵的幂

本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵，以及对角化是怎样简化计算的。

对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS = Λ

如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，将它们作为列向量可以组成一个可逆方阵 S，并且有：

这里的矩阵 Λ 为对角阵，它的非零元素就是矩阵 A 的特征值。因为矩阵 S 中的列向量线性无关，因此逆矩阵 S-1存在。在等式两侧左乘逆矩阵，得到 S-1AS=Λ。同样地，A=SΛS-1。

对于消元法而言，矩阵有 LU 分解，对于施密特正交法，矩阵有 QR 分解，而上面的推导是一种新的矩阵分解。

矩阵的幂 Powers of A

特征值给矩阵的幂计算提供了方法。
如果 Ax=λx，则有 $A^2$x=λAx=${\lambda }^2$x。说明矩阵 $A^2$ 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为${\lambda }^2$。我们将写成对角化形式则有：$A^2$=SΛ$S^{-1}$SΛ$S^{-1}$=S${\Lambda }^2$$S^{-1}$。做相同的处理还可以得到：$A^k$ =S Λ k Λ^k