Fibonacci +矩阵

本文深入探讨了矩阵快速幂算法的实现,通过寻找特定的基本矩阵,有效地计算大规模矩阵的幂次方运算。代码示例展示了如何利用循环和矩阵乘法进行高效计算,特别适用于处理斐波那契数列等递归问题。

矩阵快速幂
这里需要找到一开始的两个基本矩阵,类似于寻找a^b中的a和b

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct matrix
{
 long long m[2][2];
};
const long long mod=10000;
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
 matrix temp;
 memset(temp.m,0,sizeof(temp.m));
 int i,j,k;
 for(i=0;i<2;i++)
 for(j=0;j<2;j++)
 for(k=0;k<2;k++)
 {
  temp.m[i][j]=temp.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;//记得取余
  temp.m[i][j]%=mod;
 }
 return temp;
}
long long ksm(int n)
{
//temp和a就是我们要找的a和b
//这里temp是底数,a是指数
 matrix temp,a;
 temp.m[0][0]=temp.m[0][1]=1;
 temp.m[1][0]=temp.m[1][1]=1;
 //a的赋初值和斐波那契数列的求和方式。
 a.m[0][0]=a.m[0][1]=1;
 a.m[1][0]=1;a.m[1][1]=0;
 while(n)
 {
  if(n&1) temp=mul(temp,a);
  a=mul(a,a);
  n>>=1;
 }
 return (temp.m[0][0]+temp.m[0][1])%mod;
}
int main()
{
 int n;
 while(scanf("%d",&n)&&n!=-1)
 {
  if(n==0)
  printf("0\n");
  else if(n==1||n==2)
  printf("1\n");
  else
  {
   printf("%d\n",ksm(n-3)%mod);
  }
 }
 return 0;
}
### 斐波那契数列与矩阵的关系 斐波那契数列可以通过矩阵乘法高效计算。具体来说,存在一种特定形式的矩阵可以表示斐波那契数列相邻两项之间的转换关系: \[ \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \end{bmatrix} \] 这意味着通过不断左乘该矩阵,可以从初始条件逐步得到更高阶的斐波那契数值[^3]。 对于求解第 \( n \) 项而言,实际上就是寻找上述转移矩阵的 \( n-2 \) 次幂再作用于起始向量的结果。因此,核心问题转化为如何快速计算这个二阶方阵的大整数次幂[^1]。 ### 矩阵快速幂算法简介 为了加速这一过程,采用分治策略——即所谓的“快速幂”。这种方法基于指数拆分为平方的形式减少所需执行的操作次数。例如要计算 \( A^{13} \),则可分解成如下步骤完成: \[ A^{13}=(((((A^2)^2)\times A)^2\times A)^2\times A \] 这种做法使得原本线性的复杂度降低至对数级别,从而极大提高了效率[^4]。 ### Python代码示例 下面是一个简单的Python程序用于展示如何运用矩阵快速幂技术来获取指定位置上的斐波那契数值: ```python import numpy as np def matrix_mult(A, B): """定义两个矩阵相乘""" result = [[sum(a * b for a, b in zip(row_A, col_B)) % 1000000007 for col_B in zip(*B)] for row_A in A] return result def power(matrix, n): """实现矩阵的n次幂""" if n == 1: return matrix half_power = power(matrix, n // 2) res = matrix_mult(half_power, half_power) if n % 2 != 0: res = matrix_mult(res, matrix) return res def fibonacci_matrix(n): base_matrix = [ [1, 1], [1, 0] ] if n <= 1: return n powered_matrix = power(base_matrix, n - 1) # 返回第一个元素作为结果 return powered_matrix[0][0] print(fibonacci_matrix(10)) ``` 此段代码首先定义了一个辅助函数 `matrix_mult` 来处理两矩阵间的乘积操作;接着实现了递归版本的 `power` 函数来进行高效的矩阵幂运算;最后,在主逻辑里调用了这些工具并返回所求得的具体斐波那契值。
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