深入理解计算机系统-整数运算（2.3 Integer Arithmetic）

2.3.1 Unsigned Addition

问题引入

对于两个宽度为w-bit的无符号数x、y，有$0\le x,y<2^w$；

但如果计算这两个数的和，会发现：$0\le x+y\le 2^{w+1}-2$，表示这个和需要w+1 bit，如下图所示。

我们将这个和截断 为 w-bit，并将其视作一个无符号数，记作${+}_w^u$

无符号数加法

公式

对于无符号数x、y，如果$0\le x,y<2^w$，则有：
$$x{+}_w^{u}y=\{\begin{array}{ll}x+y,& x+y<2^w(Normal)\\ x+y-2^w,& 2^w\le x+y<2^{w+1}(Overflow)\end{array}\text{\hspace{1em}(无符号数加法-公式1)}$$
该公式可以统一为：
$$x{+}_w^{u}y=(x+y)mod{2}^w\text{\hspace{1em}(无符号数加法-公式2)}$$

推导

如果$x+y<2^w$，那么得到的w+1 bit的和的最高位为0，将这个和截断为w-bit并不影响它的值；

如果$2^w\le x+y<2^{w+1}$，那么得到的w+1 bit的和的最高位为0，将这个和截断为w-bit时，需要舍弃最高位的1，即减2^w（或mod 2^w）

溢出检测

溢出

如果算术运算的结果无法适应数据类型的字长限制时，被称之为溢出。

由于C语言对于溢出并不会提示错误信息，因此需要一些方法来检测是否发生溢出。

方法

对于$0\le x,y<UMa{x}_w$，定义$ s \doteq x +^u_w y$；

则有： s 溢出，当且仅当$ s < x 或 s < y$，即s小于x或y中的任意一个

推导

$$
\because s 溢出 \
\therefore s = x + y - 2^w \

\because y < 2^w \
\therefore y - 2^w < 0 \

\therefore s = x + y - 2^w < x

\tag{溢出检测-推导}
$$

Modular addition

阿贝尔群

• 可交换、连续
• 有一个确定的元素0，并且每个元素都有一个加性逆（additive inverse）

公式

对于任意的$0\le x<2^w$，x的无符号负数（加性逆）为：
$${-}_w^u=\{\begin{array}{ll}x,& x=0\\ 2^w-x,& x>0\end{array}\text{\hspace{1em}(Modular addition-公式)}$$

推导

• x = 0时，其加性逆明显为0
• 当x > 0时，对于$2^w-x$，有$0<2^w-x<w^w$；并且$(x+2^w-x)mod{2}^w=2^{w}mod{2}^w=0$

2.3.2 Two’s-Complement Addition

问题引入

与无符号数的加法一样，在进行有符号数的加法时，我们也需要考虑运算的结果是否会太大或太小。

对于$-2^{w-1}\le x,y\le 2^{w-1}-1$，它们的和的范围为$-2^w\le x+y\le 2^w-1$，这个运算的结果需要w + 1 bit才能完全表示。

我们将这个和截断 为w-bit，视作有符号数，记作${+}_w^t$

有符号数加法

公式

对于$-2^{w-1}\le x,y\le 2^{w-1}-1$：
$$x{+}_w^{t}y=\{\begin{array}{ll}x+y-2^w,& 2^{w-1}\le x+y(PositiveOverflow)\\ x+y,& -2^w\le x<2^{w-1}(Normal)\\ x+y+2^w,& x+y<-2^w(NegativeOverflow)\end{array}\text{\hspace{1em}(有符号数加法-公式)}$$

推导

原理

由于有符号数的加法与无符号数的加法在bit层级的表示是一样的；

因此，在计算${+}_w^t$时，可以按如下步骤进行操作：

1. 将运算数转为无符号数
2. 执行无符号数的加法
3. 将结果转为有符号数

即$x{+}_w^{t}y=U2T_w(T2U_w(x){+}_w^{u}T2U_w(y))$

推导过程

$$\begin{array}{rlr}x{+}_w^{t}y& =U2T_w(T2U_w(x){+}_w^{u}T2U_w(y))& \because T2U_w(x)=x_{w-1}{2}^w+x\\ & =U2T_w[(x_{w-1}{2}^w+x+y_{w-1}{2}^w+y)mod{2}^w]& \because x{+}_w^{u}y=(x+y)mod{2}^w\\ & =U2T_w[(x+y)mod{2}^w]& \because x_{w-1}mod{2}^w=0\end{array}\text{\hspace{1em}(有符号数加法-推导)}$$

4种情况

预备知识：

• $TMa{x}_w\doteq {\sum }_{i=0}^{w-2}{2}^i=2^{w-1}-1$

$$U2T_w(u)=\{\begin{array}{ll}u,& u\le TMax\\ u-2^w,& u>TMax\end{array}\text{\hspace{1em}(U2Tw)}$$

做如下定义：

$z\doteq x+ｙ，z^{\prime }\doteq zmod{2}^w，z^{\prime \prime }\doteq U2T_w(z^{\prime })$，即$z^{\prime \prime }=x{+}_w^{t}y$

那么会有以下4种情况，与图片对应：

对应图中Case	z的范围	z’的范围	z’'的范围
1	$-2^w\le z<-2^{w-1}$	$\because z^{\prime }=z+2^w$ $\therefore 0\le z^{\prime }<-2^{w-1}+2^w=2^{w-1}$	$z^{\prime \prime }=z^{\prime }=z+2^w$
2	$-2^{w-1}\le z<0$	$\because z^{\prime }=z+2^w$ $\therefore -2^{w-1}+2^w=2^{w-1}\le z^{\prime }<2^w$	$z^{\prime \prime }=z^{\prime }-2^w=z+2^w-2^w=z$
3	$0\le z<2^{w-1}$	$z^{\prime }=z$	$z^{\prime \prime }=z^{\prime }=z$
4	$2^{w-1}\le z<2^w$	$z^{\prime }=z$	$z^{\prime \prime }=z^{\prime }-2^w$

溢出检测

方法

对于$TMi{n}_w\le x,y\le TMa{x}_w$，定义$s\doteq x{+}_w^{t}y$，则其溢出检测为：

• 正溢出（positive overflow）：当且仅当 x > 0 并且 y > 0，但$s\le 0$时
• 负溢出（negative overflow）：当且仅当 x < 0 并且 y < 0，但$s\ge 0$ 时

图例

2.3.3 Two’s-Complement Negation

公式

对于$TMi{n}_w\le x\le TMa{x}_w$，存在对于${+}_w^t$的加性逆，记作${-}_w^t$，有：
$${-}_w^{t}x=\{\begin{array}{ll}TMi{n}_w,& x=TMi{n}_w\\ -x,& x>TMi{n}_w\end{array}\text{\hspace{1em}(Two’s-Complement Negation-公式)}$$

推导

1. 当$x=TMi{n}_w$时：

$$\begin{gathered} \because TMi{n}_w+TMi{n}_w=-2^{w-1}+(-2^{w-1})=-2^w \\ \therefore 发送负溢出 \\ \therefore TMi{n}_w{+}_w^{t}TMi{n}_w=-2^w+2^w=0\text{\hspace{1em}(Two’s-Complement Negation-推导)} \end{gathered}$$

2. 当$x>TMi{n}_w$ 时，-x能被表示为一个w-bit的有符号数。

bit表示

方法一

方法

求出有符号数的反码，再将其加一。

在C语言中，-x和~x + 1具有相同的值

示例

方法二

方法

将有符号数分成两部分：

记k为最右侧的值为1的bit位置，则$\vec{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k+1},1,0,...,0](x\ne 0)$；

则有符号数的加性逆为${-}_w^{t}x=[\sim x_{w-1},\sim x_{w-2},...,\sim x_{k+1},1,0,...,0]$

示例

实例中，最右侧的值为1的bit标为斜体

2.3.4 Unsigned Multiplication

问题引入

对于w-bit的无符号整数x，y，有$0\le x,y\le 2^{w-1}-1$；

它们的乘积的范围是：$0\le x\times y\le (2^{w-1}-1{)}^2=2^{2w}-2^{w+1}+1$，需要2w-bit来表示。

在C语言中进行无符号数的乘法时，会将生产的2w-bit的乘积截取低w-bit来做为运算结果，将截断后的结果记作$x{\ast }_w^{u}y$

截取低w-bit的方法是将乘积模上2^w

公式

对于$0\le x,y\le UMax$：
$$x{\ast }_w^{u}y=(x\times y)mod{2}^w\text{\hspace{1em}(无符号数乘法-公式)}$$