卡尔曼滤波器原理详细推导

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#算法 #学习

于 2022-08-07 11:13:35 首次发布

本文详细阐述了卡尔曼滤波器的三个关键步骤：计算卡尔曼增益、状态变量估计与误差更新。通过状态空间方程，解释了如何处理过程噪声和测量噪声，并介绍了如何利用先验估计值和测量估计值进行数据融合，最终求得后验估计值和误差协方差的最小化。

Kalman滤波器的设计可以分为三步：

Step1：计算卡尔曼增益（Kalman Gain）

$K_{k}=\frac{e_{k-1(EST)}}{e_{k-1(EST)}+e_{k(MEA))}}$

$e_{k-1(EST)}$ 为k-1时刻的估计误差， $e_{k(MEA))}$ 为k时刻的测量误差。

Step2：计算k时刻的状态变量估计值

$\hat{x}_{k}=\hat{x}_{k-1}+K_{k}(z_{k}-\hat{x}_{k-1})$

$z_{k}$ 为k时刻测量值。

Step3：更新k时刻的估计误差

$e_{k(EST)}=(1-K_{k})e_{k-1(EST)}$

具体原理及详细推导：

首先给出状态空间方程（离散形式）

$\left\{\begin{matrix} x_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}+\omega_{k-1} \\ z_{k}=Hx_{k}+\upsilon _{k} \end{matrix}\right.$

其中 $\omega$ 为过程噪声， $\upsilon$ 为测量噪声，且满足正态分布

$P(\omega )\sim (0,Q)\; \; \; \; \; P(\upsilon )\sim (0,R)$

Q、R为协方差矩阵且

$Q=E[\omega \omega ^{T}]\; \; \; \; \; R=E[\upsilon \upsilon ^{T}]$

补充：

$Var(x)=E(x^{2})-E^{2}(x)\; \; \; \; \; Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)$

假设

$x_{k}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ ，

则

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