Codeforces 1244C 扩展欧几里得

最新推荐文章于 2021-01-02 19:44:34 发布

gong_zi_shu

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分类专栏：题解文章标签：算法 Codeforces 题目 OI ACM

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题目大意为找出一组非负特解 $x$ 和 $y$ 使得 $x w + y d = p$ 且 $x + y < = n$ 。

我们令 $\% w$ ， $\frac{p}{w}$ 。于是我们将 $x w + y d = p$ 转化为 $x w + a w + g = p$ 。换言之，就是 $a w + g = y d$ 。

$a w + g = y d$ 也就是 $\equiv -g\%d (mod = d)$ 转换为同余方程问题。

$-g\%d$ ，将扩展欧几里得返回的 $x$ 乘上 $-g\%d$ ，然后对 $d$ 取模取最小非负值即可。

算法思路：

我们要保证 $x + y < = n$ ，所以我们贪心的拿 $w$ 和 $d$ 中大的那个，这样得到的 $x + y$ 就是最小的。这里我们先默认 $w$ 大，我们贪心的拿 $w$ 之后，发现有余数 $g$ 。于是我们要将多拿了的 $w$ 和剩下的g，转换为若干数量的 $d$ 。

然后我们构造同余方程，将求得结果乘上 $-g\%d$ ，为了尽可能多拿 $w$ ，最后取最小非负整数。然后得到 $w$ 和 $d$ 的数量，若贪心的选还不能满足 $x$ 和 $y$ 非负，则判断为无解。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
typedef long long LL;

LL gcd(LL x, LL y){
    return y == 0 ? x : gcd(y, x%y);
}

void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(!b) x = 1, y = 0;
    else{
        exgcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    LL n, p, w, d, x, y, a = 0, b, g;
    cin >> n >> p >> w >> d;
    bool flag = false;
    if(w < d){
        swap(w, d);
        flag = true;
    }
    g = p % w;
    x = p / w;
    exgcd(w, d, a, b);
    a *= -(g % d)/gcd(w, d);
    a = (a % d + d) % d;
    x -= a;
    y = (a*w + g) / d;

    if(x*w + y*d == p && x + y <= n && x >= 0 && y >= 0){
        if(flag) swap(x, y);
        cout << x << " " << y << " " << n - x - y << endl;
    }
    else
        cout << -1 << endl;

return 0;}