hdu 4549.M斐波那锲数列 C++

最新推荐文章于 2023-03-20 21:35:32 发布

原创最新推荐文章于 2023-03-20 21:35:32 发布 · 430 阅读

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂和费马小定理解决M斐波那契数列问题的方法，通过实例解析了算法的具体实现过程，并提供了C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4549

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

此题对于我来说有点难度，数学没学好的我以至于一开始数学问题转不过来。看了别人的博客，用了矩阵快速幂 + 费马小定理。我就不在这解释了，不过矩阵快速幂可以参考我的上篇博文hdu1575：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43480094/article/details/83615871。

费马小定理：https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/4776158?fr=aladdin

主要就是 a^b % c, c是素数，a和c互质，所以 a ^(b%(c-1)) %c。（来自某博主的理解）

先用矩阵快速幂求出F[n]。

然后利用整数快速幂计算 F[0]^F[n].[0][0] * F[1]^F[n].[1][0] ([0][0]表示矩阵的第一行第一列元素，[1][0]同理) 至于为什么最后要如此次幂一下，个人理解为因为题目是 F[n-1] * F[n-2]，乘。每次都得乘一次，所以最后次幂。

C++代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define N 2
typedef long long LL;
class item {
public:
	item() = default;
	LL ar[N][N];
	item operator *(const item &rhs) {
		item temp;
		int i,j,k;
		for (i = 0; i < N;i++)
		{
			for (j = 0;j < N;j++)
			{
				temp.ar[i][j] = 0;
				for (k = 0;k < N;k++)
				{
					temp.ar[i][j] += ar[i][k] * rhs.ar[k][j];
					temp.ar[i][j] %= (MOD - 1);
				}
			}
		}
		return temp;
	}
	void pow_matrix(int k);
};
item ans,res;
void item::pow_matrix(int k)
{
	int i,j;
	for (i = 0;i < N;i++)
	{
		for (j = 0;j < N;j++){
			ans.ar[i][j] = (i == j);
		}
	}
	while (k)
	{
		if (k & 1)
			ans = ans * res;
		res = res * res ;
		k >>= 1;
	}
}
LL pow_num(LL a,LL n)
{
	LL temp = 1;
	a %= MOD;
	while (n)
	{
		if (n & 1){
			temp *= a;
			temp %= MOD;
		}
		a *= a;
		a %= MOD;
		n >>= 1;
	}
	return temp % MOD;    //切记%MOD
}
int main()
{
	int a,b,n;
	while (scanf("%d %d %d",&a,&b,&n) != EOF)
	{
		res.ar[0][0] = 0;
		res.ar[0][1] = res.ar[1][0] = res.ar[1][1] = 1;
		res.pow_matrix(n);
		int target = (pow_num(a,ans.ar[0][0]) * pow_num(b,ans.ar[1][0]))% MOD;
		printf("%d\n",target);
	}
	return 0;
}

谢谢。