leetcode486. 预测赢家（Python3、c++）

leetcode486. 预测赢家

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。

示例 2：

输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
     最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。

提示：

• 1 <= 给定的数组长度 <= 20.
• 数组里所有分数都为非负数且不会大于 10000000 。
• 如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家 1 仍为赢家。

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方法：动态规划

思路：

本题是一道典型的动态规划的问题，与石子游戏类似。

首先需要说明的是，两个人都是按照最优解进行行动，也就是说A先手选完之后，B再选，此时B就是先手者了，也要选择最优解。

面对选择的时候，可以选择左端点，也可以右端点，剩下的交给下一个人选择。

下面我们定义状态，f(i,j)表示nums剩余[i,j]的时候（左右闭区间），**先手者与后手者得到分数的最大差值。**那么，我们最后返回f(0,n-1)时候大于等于0，即表示先手者是否能赢。

下面考虑状态转移方程，面对[i,j]的时候，玩家有两种选择：

• 一是选择左端点，即i，那么得到分数nums[i]，接下来玩家2得到的最大差值为f(i+1,j)，那么此时玩家1与玩家2分数差为nums[i]-f(i+1,j)

• 二是选择右端点，即j，那么得到的分数为nums[j]，接下来玩家2得到的最大差值为f(i,j-1)，同理此时玩家1与玩家2分数差为nums[j]-f(i,j-1)

• 因此，状态转移方程为：

  • $$dp[i][j]=max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1])$$

下面考虑初始条件，可知，当区间只剩一个数的时候，分数差即为这个数，因此dp[i][i] = nums[i]。

最后返回dp[0][n-1]>=0即可。

代码：

Python3：

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        # dp[i][j]表示剩余nums为[i,j]闭区间的时候，先手和后手获得分数的差的最大值，
        # 最后我们返回 dp[0][n-1] >0 即可
        dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] = nums[i]
        for i in range(n-1,-1,-1):
            for j in range(i+1,n):
                # 状态转移方程为dp[i][j] = max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1])
                dp[i][j] = max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1])
        return dp[0][n-1] >= 0

cpp：

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // dp[i][j]表示剩余nums为[i,j]闭区间的时候，先手和后手获得分数的差的最大值，
        // 最后我们返回 dp[0][n-1] >0 即可
        vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(n,0));
        for (int i = 0;i < n; i++)
            dp[i][i] = nums[i];
        for (int i = n-1;i >=0;i--)
            for (int j = i+1; j<n; j++)
                // 状态转移方程为dp[i][j] = max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1])
                dp[i][j] = max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1]);
        return dp[0][n-1] >= 0;

    }
};

结果：