排队论简述及LINGO实现（3）——基于生灭过程的排队模型

基于生灭过程的排队模型

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首先，我们假定模型都具有泊松输入和指数服务时间。给出三个模型作为排队系统的三个重要类型

$M/M/s$模型

$M/M/s$模型认为所有间隔到达时间按照指数分布且平均分布（即输入源为泊松分布），所有服务时间按照另一个独立的指数分布且均匀分布，且所有服务台数量为$s$，其平均到达率与平均服务率为$\lambda$和$\mu$。

当$s=1$时，生灭过程参数为${\lambda }_n$和${\mu }_n$。

当$s>1$时，系统到达率仍为${\lambda }_n$，系统服务率为

• 当$n\le s$时，${\mu }_n=n\mu$，此时$\rho =1$
• 当$n\ge s$时，${\mu }_n=s\mu$，此时$\rho \le 1$

$M/M/1$模型

当$s=1$ 时，${\lambda }_n={\lambda }_1,{\mu }_n={\mu }_1,{\rho }_n=\rho$， 则$C_n={\rho }^n{P}_0$

则$P_n={\rho }^n(1-\rho )，P_0=1-\rho ,L=\frac{\lambda }{\mu -\lambda },L_q=\frac{{\lambda }^2}{\mu (\mu -\lambda )}$

经简化计算得$W=\frac{1}{\mu -\lambda },W_q=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}$

P { W q > t } = ρ