96不同的二叉搜索树——力扣算法系列2020.07.15 Python

第21天
2020.07.15 周三
难度系数：中等
96不同的二叉搜索树
题目：给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
——————————我是分割线——————————
解法：
首先了解什么叫做二叉搜索树：二叉查找树(Binary Search Tree)，(又:二叉搜索树，二叉排序树)它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉搜索树的相关知识

思路：动态规划
从[1,n]中选一个节点i作为根节点，剩余的i-1个节点作为左、右子树。记左子树有j个节点，则右子树有i-1-j个节点，则以i为根节点的树有dp[i]*dp[i-1-j]，（2<=i<=n）
j从0开始到i-1，左子树0个节点，右子树i-1个节点；左子树2个节点，右子树i-2个节点；……；左子树i-1个节点，右子树0个节点。故左子树j个，右子树i-1-j个。
状态定义：dp[n]：长度为n的序列能构成的不同的二叉搜索树的个数。
状态转移方程：dp[i] = dp[j] * dp[i-1-j]
边界条件：n=0时，无数字，空数；n=1时，只有一个数字，单个节点的树。

代码：

# leetcode96不同的二叉搜索树 2020.07.15
class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1 #边界条件 n=0 空树
        dp[1] = 1 #边界条件 n=1 单个节点的树
        for i in range(2,n+1): #i从2到n
            for j in range(0,i): #j从0到i-1
                dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1] 
        return dp[n]
n = 3
print(Solution().numTrees(n))
# 结果 5

官方给了一种数学方法，利用卡塔兰公式，这里不做讲解，有兴趣的可以去官网查看。