愤怒的牛【二分】

愤怒的牛

题目描述

农夫约翰建造了一座有n间牛舍的小屋,牛舍排在一条直线上,第i间牛舍在xi的位置,但是约翰的m头牛对小屋很不满意,因此经常互相攻击。约翰为了防止牛之间互相伤害,因此决定把每头牛都放在离其它牛尽可能远的牛舍。也就是要最大化最近的两头牛之间的距离。
牛们并不喜欢这种布局,而且几头牛放在一个隔间里,它们就要发生争斗。为了不让牛互相伤害。John决定自己给牛分配隔间,使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大,那么,这个最大的最小距离是多少呢?

输入

第一行用空格分隔的两个整数n和m;
第二行为n个用空格隔开的整数,表示位置xi。

输出

输出仅一个整数,表示最大的最小距离值。

样例输入

5 3
1 2 8 4 9

样例输出

3

提示

把牛放在1,4,8这样最小距离是3

2≤n≤105 , 0≤xi≤109, 2≤m≤n

思路:

    问题:求出最大的最小距离值(最大的最小或者是最小的最大一般都是二分解决

    通过

<think>嗯,用户的问题是关于的朋友问题,使用二分查找算法来解决。首先,我需要理解这个问题的具体内容。根据用户提供的引用[1]和[2],问题大致是说,在一条直线上有N个棚的坐标,需要放置C头,使得相邻两头之间的最小距离尽可能大。目标就是找到这个最大的最近距离。 那怎么用二分查找来解决这个问题呢?回想一下,二分查找通常用于在有序数组中查找特定值,但这里可能用来在可能的解空间中寻找最优解。可能的解空间是相邻之间的最小距离,范围应该是最小可能的0到最大可能的坐标差,比如最大坐标减去最小坐标。 首先需要确定二分查找的上下界。左边界应该是0,右边界可以初始化为最大的坐标减去最小的坐标。然后,每次取中间值mid,判断是否能够放置C头,使得相邻的距离都不小于mid。如果可以,说明可能还有更大的解,调整左边界;如果不行,调整右边界。 那如何判断是否能够放置C头呢?可能需要遍历排序后的坐标数组,每次尽可能将放在满足距离条件的下一个位置,统计可以放置的数量。如果数量大于等于C,说明mid是可行的。 比如,用户提供的引用[2]中提到的例子,先将棚坐标排序,然后使用二分法在可能的距离范围内查找。每次验证中间值,调整左右边界,直到找到最大的可行距离。 接下来需要考虑代码实现。首先需要对棚坐标进行排序,因为二分查找需要有序的数据。然后编写一个验证函数,检查某个距离是否可行。验证时,从第一个棚开始,记录最后一头的位置,之后每个棚的位置必须至少比上一个位置大mid,直到放满C头。 另外,需要注意边界条件,比如当C等于2时,最大距离就是最大坐标减去最小坐标。当C等于N时,每个棚只能放一头,所以最小距离是相邻棚的最小间隔。 用户可能还关心时间复杂度。排序的时间复杂度是O(N log N),二分查找的次数取决于初始的右边界,比如对于1e9的范围,大约需要30次左右,每次验证需要O(N),所以总的时间复杂度是O(N log N + N log D),其中D是初始范围,这应该是可行的,因为N是1e5,这样的复杂度在合理范围内。 可能的问题点包括:如何处理坐标的排序是否正确,验证函数是否正确统计的数量,以及二分查找的终止条件是否正确。比如,循环条件应该是left < right还是left <= right,中间值的计算是否需要向上取整等。 例如,在二分查找中,通常有两种方式:左闭右闭区间或左闭右开区间。这里可能需要使用左闭右闭,初始left=0,right=最大距离,然后循环条件是left < right。中间值mid取(left + right +1)/2,这样在更新left和right时避免死循环。例如,如果mid可行,left=mid;否则,right=mid-1。这样最终left就是最大的可行值。 用户提到的引用[3]是关于C++的二分查找实现,但这里的应用不同,是非直接的查找,而是应用在解空间的搜索。需要将问题转化为二分查找的条件判断。 总结步骤: 1. 排序棚坐标。 2. 初始化二分查找的左右边界。 3. 进行二分查找,每次验证中间值是否可行。 4. 根据验证结果调整左右边界。 5. 最终得到最大的最近距离。 现在需要将这些步骤具体化,并写出对应的代码示例,比如Python的实现。在验证函数中,用循环遍历坐标,计算可以放置的的数量,如果达到或超过C,则返回True,否则False。 在代码中需要注意处理大数的情况,比如坐标可以达到1e9,所以应该使用长整型。此外,排序时应该使用高效的排序算法,如快速排序或归并排序,不过Python的内置sort方法已经优化。 可能的相关问题包括:如何选择二分查找的初始范围?如何处理坐标中有重复的情况?如果的数量超过棚数量怎么办?但根据题目描述,C<=N,所以不需要处理这种情况。 最终,用户的问题需要明确的解决方案步骤和代码实现,以及可能的相关问题列表,帮助用户进一步理解。</think>### 的朋友问题与二分查找解法 #### 问题描述 在一条直线上有 $N$ 个棚坐标 $x_1, x_2, ..., x_N$,需放置 $C$ 头。要求相邻两头之间的最小距离尽可能大,求这个最大距离。 #### 解决思路 1. **排序坐标**:将棚坐标从小到大排序,便于后续计算。 2. **二分查找范围**:最小可能距离为 $0$,最大可能距离为 $max(x_i) - min(x_i)$。 3. **验证函数**:判断某个距离 $d$ 是否满足放置 $C$ 头的条件。 4. **调整边界**:根据验证结果缩小二分查找范围,直至找到最优解。 #### 算法实现 ```python def max_min_distance(stalls, c): stalls.sort() left = 0 right = stalls[-1] - stalls[0] result = 0 while left <= right: mid = (left + right) // 2 if is_valid(stalls, c, mid): result = mid left = mid + 1 else: right = mid - 1 return result def is_valid(stalls, c, d): count = 1 last_position = stalls[0] for pos in stalls[1:]: if pos - last_position >= d: count += 1 last_position = pos if count >= c: return True return count >= c ``` #### 代码说明 1. **排序**:先对棚坐标排序,时间复杂度 $O(N \log N)$。 2. **二分查找**:每次计算中间值 $mid$,验证是否可放置 $C$ 头。 3. **验证函数**:通过遍历判断是否能以至少 $d$ 的距离放置所有。时间复杂度 $O(N)$。 #### 性能分析 - 总时间复杂度为 $O(N \log N + N \log D)$,其中 $D$ 为初始最大距离范围,适用于 $N \leq 10^5$ 的规模[^2]。 #### 应用场景 - 资源分配问题(如基站建设、广告牌间隔等)。 - 最大化最小值或最小化最大值的优化问题[^1]。
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