代码随想录算法训练营第四十五天 | 70. 爬楼梯 （进阶）、322. 零钱兑换 、279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

题目链接：70. 爬楼梯 （进阶）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0070.%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%89%88%E6%9C%AC.html

思路

这道题可以转化为一个完全背包问题，物品是每次可以爬的台阶数（从1到m，可取无限次），背包就是当前的台阶顶。题目问的是有多少种不同的方法可以爬到楼顶，这是计算有多少个排列的问题，因此先遍历背包容量，再遍历物品。

dp[j]代表当前台阶顶为j的情况下，有多少种方式可以到达。初始化时，dp[0] = 1，递推公式为：

dp[j] += dp[j - i];

遍历顺序为先遍历背包容量，再遍历物品。

C++实现

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int main(){
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    dp[0] = 1;
    for(int j = 1;j<=n;j++){
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            if(j >= i) dp[j] += dp[j - i];
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}

322. 零钱兑换

题目链接：322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0322.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2.html

思路

是一个完全背包问题，由于题目要求的是最少的硬币个数，因此归为求解组合问题或求解排列问题均可。就当做组合问题来求解，即求解刚好装满背包时，物品组合的最小个数。

dp[j]表示可以凑成总金额为j时，最少的硬币数目。令dp[0] = 0，其余初值为INT_MAX。

递推公式为：dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)。遍历顺序为先遍历硬币，再遍历总金额。

C++实现

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, numeric_limits<int>::max());
        dp[0] = 0;
        for(int j = 0;j<=amount;j++){
            for(int i = 0;i<coins.size();i++){
                if(j >= coins[i] && dp[j - coins[i]] < numeric_limits<int>::max() - 1) 
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] == numeric_limits<int>::max() ? -1 : dp[amount];
    }
};

279.完全平方数

题目链接：279.完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

文章讲解/视频讲解：https://programmercarl.com/0279.%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0.html

思路

完全背包问题，其中每个小于n的完全平方数为物品，整数n为背包容量。和上一题类似，求组合或求排列都不重要，当作求组合问题。

dp[j]代表和为j的完全平方数的最小数量，初始化时，令dp[0] = 0，其余初值均赋予INT_MAX。

递推公式为: dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1)，其中i * i为第i个完全平方数。

遍历顺序为先遍历完全平方数，再遍历总和。

C++实现

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int m = sqrt(n);
        vector<int> dp(n + 1, numeric_limits<int>::max());
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = i * i;j<=n;j++){
                if(dp[j - i * i] != numeric_limits<int>::max()){
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};