建模4----灰色预测、模拟退火和蚁群算法

灰色预测

参考：https://www.jianshu.com/p/a35ba96d852b
灰色预测法是一种针对灰色系统的预测方法。灰色系统介于白色系统（内部信息完全可知）和黑色系统（内部不可知，只知道与外界的交互，黑箱）之间。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行灰色生成来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，具体推导见参考链接，算法步骤如下：
(1) 数据的级比检验
(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。
(3) 检验预测值： ① 相对残差检验 ② 级比偏差值检验
(4) 利用模型进行预测。

模拟退火

参考：https://www.cnblogs.com/Qling/p/9326109.html
模拟退火用于解决最优化问题。往往先确定一个随机初值，按照某种准则移动，判断值的变化，再决定是否移动，最终逼近最优解。

Metropolis准则：比如在求最大值时，当f(i+1)>f(i)时，接受该移动；当f(i+1)<f(i)时，以一定的概率接受该移动，否则不接受此次移动。所以关键的是移动准则的确定，应该具备一定的随机性。

解决TSP（旅行商）问题。程序流程：

1. 设定初始温度T0，并且随机选择一条遍历路径P(i)作为初始路径，算出其长度L(P(i))；
2. 随机产生一条新的遍历路径P(i+1)，算出其长度L(P(i + 1));
3. 若L(P(i + 1)) < L(P(i))，则接收P(i + 1)为新路径，否则以模拟退火的概率接收P(i + 1)，然后降温；
4. 重复步骤1和2直至温度达到最低值Tmin。

产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

3. 随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。

MATLAB例程：

% main.m
%% I. 清空环境变量
clear all
clc
 
%% II. 导入城市位置数据
X = [16.4700   96.1000
     16.4700   94.4400
     20.0900   92.5400
     22.3900   93.3700
     25.2300   97.2400
     22.0000   96.0500
     20.4700   97.0200
     17.2000   96.2900
     16.3000   97.3800
     14.0500   98.1200
     16.5300   97.3800
     21.5200   95.5900
     19.4100   97.1300
     20.0900   92.5500];
 
%% III. 计算距离矩阵
D = Distance(X);  %计算距离矩阵
n = size(D,1);    %城市的个数
 
%% IV. 初始化参数
T0 = 1e10;                                                                  % 初始温度
Tf = 1e-30;                                                                 % 终止温度
%L = 2;                                                                     % 各温度下的迭代次数
q = 0.9;                                                                    % 降温速率
Time = floor(log(Tf/T0)/log(0.9));                                          % 计算迭代的次数 T0 * (0.9)^x = Tf
count = 0;                                                                  % 初始化迭代计数
Obj = zeros(Time, 1);                                                       % 目标值矩阵初始化
path = zeros(Time, n);                                                      % 每代的最优路线矩阵初始化
 
%% V. 随机产生一个初始路线
S1 = randperm(n