居然。。。。B - Number of Containers

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数论黑洞&思维暴力

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本文介绍了一种高效计算F(n)的方法，通过数学分析与图形表示，利用对称性减少重复计算，适用于大规模数据处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

For two integers m and k, k is said to be a container of m if k is divisible by m. Given 2 positive integers n and m (m < n), the function f(n, m) is defined to be the number of containers of m which are also no greater than n. For example, f(5, 1)=4, f(8, 2)=3, f(7, 3)=1, f(5, 4)=0…
Let us define another function F(n) by the following equation:
在这里插入图片描述
Now given a positive integer n, you are supposed to calculate the value of F( n).

Input
There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T(T<=200) indicating the number of test cases. Then T test cases follow.
Each test case contains a positive integer n (0 < n <= 2000000000) in a single line.

Output
For each test case, output the result F(n) in a single line.

Sample Input
2
1
4

Sample Output
0
4
题意：就是如图所示，求 n/i-1；（0<i<n）的和，，，，由于数据高达20Y，所以，暴力就会T！！！

画图，画出函数图像：y = n/x，以 y = x对称
可以用横坐标表示i 从该点画一条垂直的线这条线上的所有整数点的个数就是 n/i
那么n/1+n/2+n/3+……n/(n-2)+n/(n-1)+n/n 可以表示为i*(n/i)=n这条线
答案就是这条线与坐标轴围成的面积内的整数点的个数
画一条x=y的线与xy=n相交可以知道面积关于x=y对称
我们求n/1+n/2+n/3+…… 只求到k=sqrt(n)处（1个梯形）之后乘以2 （得到2个梯形的面积其中有一个正方形的区域是重复的）减去重复的区域kk个即可

这个方法也可以用来快速求（n/1+n/2+n/3+…+n/n）。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <bitset>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 50005

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        ll n, sum=0;
        cin >> n;
        int c = sqrt(n);
        for(int i=1; i<=c; ++i)
            sum+=n/i;
        sum*=2;
        sum = sum-c*c-n;
        cout << sum << '\n';
    }
    return 0;
}