红黑树小抄

红黑树小抄

写在前面

算法分析课 期末考红黑树也是没谁了…

不过不幸中的万幸是应该只考插入，

我就在这打个小抄，大家就当考前热个身

红黑树的性质

1. 是一颗BST（不会BST请自行查阅）
2. 根节点是黑色，节点要么是红色要么是黑色
3. 假设所有叶子结点是nil，则任意子树任意路径到达nil的黑色节点个数相同
4. 所有叶子结点都是nil，并且是黑色
5. 红节点不与红节点邻接，即如果某个节点是红色，其子节点一定是黑色（nil也是黑色）

红黑树的插入

前导知识

• BST的旋转操作
• BST的插入操作

待插入的节点一开始设为红色

我们根据BST的性质找到叶子结点的位置插入

叔叔节点：我们称当前节点的父节点的兄弟节点为叔叔节点

我们把指针指向待插入节点， 讨论待插入节点几种情况：

1. 父节点是黑色，很幸运，直接插入。

2. 当前没有节点，直接插入，并把节点染成黑色

3. 父节点是红色

   1. 叔叔节点是红色

      • 把当前节点的 父节点与叔叔节点染成黑色

      • 指针指向当前节点的祖父节点并将祖父节点染成红色

   2. 叔叔节点是黑色

      1. LL
         • 右旋当前指针节点
         • 交换指针节点与右子节点的颜色
      2. LR
         • 左旋转化为LL
         • do LL
      3. RR
         • 左旋当前指针节点
         • 交换指针节点与左子节点的颜色
      4. RL
         • 右旋转化为RR
         • do RR

复杂度

这里打个小抄，不做证明

插入、查找、删除的时间复杂度只与红黑树的高度有关

$height=2log(N+1)\to O(logN)$

证明的思路大概就是：

• 首先忽略黑节点，计算只有红节点的树的高度
• 忽略红节点，计算只有黑节点的树的高度
• 将高度相加即为红黑树的高度