网络流算法

网络流算法
很多实际问题可以建模为流网络
• 装配线上物件的流动
• 电网中电流的流动
• 通信网络中信息的流动
• 道路交通网络中的运输活动
• ……
• 一个源节点s、一个汇点t，由源节点流向汇点
• 流量守恒

• 流网络
是一个无自环的有向图G=(V, E)，
(1) 图中的每条边(u, v)E有一个非负的容量值c(u, v)0。
if (u, v)E c(u, v)=0；
(2) 有两个特殊结点s, tV，s称为源结点(source)，t称为汇点
(sink)
(3) For vV, 存在一个s到t经过v的路径svt.
• 流(Flow)
设G(V,E)是一个流网络，c是容量函数，s源结点，t是汇点。
G中的流是一个实值函数f：VVR，满足下列性质：
(1) 容量约束：
(2) 流量守恒：

这里的流，指的即使在该网络的限制中，能够从s出发并到达t的流量的和。
例如，该图的流为19.
最大流算法，即是求该图上面的能够从s出发并到达t的流的最大值。
由于在网络内部有限制，所以求解的是在该限制下的流的最大流。
想法•：循环递进
– 初始：网络上的流为0
– 找出一条从s到t的路径p和正数a，使得p上的每一条边(u,v)
的流量增加a之后仍能够满足容量约束：f(u,v)+ac(u,v)
//将p上的每条边的流量增加a，得到一个更大的流
– 重复执行第二步，直到找不到满足约束条件的路径.
关键在于：

1. 如何找路径p，以便得到更大的流？
2. 如何判断循环结束的条件？
   最大流算法
   Ford-Fulkerson方法
   招路径：
   在一个关联的剩余网络(余图)中寻找一条增广路径：
   剩余网络：
   
   增广路径
   • 增广路径
   – 剩余网络中的一条由源结点s到汇点t的一条路径p
   
   图中红色标注的路径为一条增广路径，其剩余容量为4
   • 增广路径p的剩余容量
   – cf
   §=min{cf(u, v) : (u, v)属于路径p}
   –表示了该路径能够增加的流的最大值。
   • FF算法的核心是：通过增广路径不断增加路径上的流
   量，直到找到一个最大流为止
   • 如何判断算法终止时，确实找到了一个最大流
   最大流最小割定理：
   设f为流网络G(V,E)一个流，该流网络的源结点为s，
   汇点为t，则下面命题等价：
3. f是G的最大流.
4. 剩余网络Gf不包含增强路径.
5. 对于G的某个划分(S, T), | f |=c(S, T).

割的定义
算法

一些问题：