3. 神经网络系列 -- 损失函数

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第3章 损失函数

3.0 损失函数概论

3.0.1 概念

在各种材料中经常看到的中英文词汇有：误差，偏差，Error，Cost，Loss，损失，代价…意思都差不多，在本书中，使用“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇，具体的损失函数符号用J来表示，误差值用loss表示。

“损失”就是所有样本的“误差”的总和，亦即（m为样本数）：

$$损失=\sum _{i=1}^m误{差}_i$$

$$J=\sum _{i=1}^{m}loss$$

在黑盒子的例子中，我们如果说“某个样本的损失”是不对的，只能说“某个样本的误差”，因为样本是一个一个计算的。如果我们把神经网络的参数调整到完全满足独立样本的输出误差为0，通常会令其它样本的误差变得更大，这样作为误差之和的损失函数值，就会变得更大。所以，我们通常会在根据某个样本的误差调整权重后，计算一下整体样本的损失函数值，来判定网络是不是已经训练到了可接受的状态。

损失函数的作用

损失函数的作用，就是计算神经网络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距，从而指导下一步的训练向正确的方向进行。

如何使用损失函数呢？具体步骤：

1. 用随机值初始化前向计算公式的参数；
2. 代入样本，计算输出的预测值；
3. 用损失函数计算预测值和标签值（真实值）的误差；
4. 根据损失函数的导数，沿梯度最小方向将误差回传，修正前向计算公式中的各个权重值；
5. goto 2, 直到损失函数值达到一个满意的值就停止迭代。

3.0.2 机器学习常用损失函数

符号规则：a是预测值，y是样本标签值，J是损失函数值。

• Gold Standard Loss，又称0-1误差
  $$loss=\{\begin{array}{ll}0& a=y\\ 1& a\ne y\end{array}$$

• 绝对值损失函数

$$loss=|y-a|$$

• Hinge Loss，铰链/折页损失函数或最大边界损失函数，主要用于SVM（支持向量机）中

$$loss=max(0,1-y\cdot a),y=\pm 1$$

• Log Loss，对数损失函数，又叫交叉熵损失函数(cross entropy error)

loss=−1m∑imyilog(ai)+(1−yi)log(1−ai)yi∈{0,1} loss = -\frac{1}{m} \sum_i^m y_i log(a_i) + (1-y_i)log(1-a_i) \qquad y_i \in \{0,1\} loss=−m1​i∑m​yi​log(ai​)+(1−yi​)log(1−ai​)yi​∈{0,1}

• Squared Loss，均方差损失函数
  $$loss=\frac{1}{2m}\sum _i^m(a_i-y_i{)}^2$$

• Exponential Loss，指数损失函数
  $$loss=\frac{1}{m}\sum _i^m{e}^{-(y_i\cdot a_i)}$$

3.0.3 损失函数图像理解

用二维函数图像理解单变量对损失函数的影响

图3-1 单变量的损失函数图

图3-1中，纵坐标是损失函数值，横坐标是变量。不断地改变变量的值，会造成损失函数值的上升或下降。而梯度下降算法会让我们沿着损失函数值下降的方向前进。

1. 假设我们的初始位置在A点，$x=x0$，损失函数值（纵坐标）较大，回传给网络做训练；
2. 经过一次迭代后，我们移动到了B点，$x=x1$，损失函数值也相应减小，再次回传重新训练；
3. 以此节奏不断向损失函数的最低点靠近，经历了$x2、x3、x4、x5$；
4. 直到损失值达到可接受的程度，比如$x5$的位置，就停止训练。

用等高线图理解双变量对损失函数影响

图3-2 双变量的损失函数图

图3-2中，横坐标是一个变量$w$，纵坐标是另一个变量$b$。两个变量的组合形成的损失函数值，在图中对应处于等高线上的唯一的一个坐标点。$w、b$所有的不同的值的组合会形成一个损失函数值的矩阵，我们把矩阵中具有相同（相近）损失函数值的点连接起来，可以形成一个不规则椭圆，其圆心位置，是损失值为0的位置，也是我们要逼近的目标。

这个椭圆如同平面地图的等高线，来表示的一个洼地，中心位置比边缘位置要低，通过对损失函数值的计算，对损失函数的求导，会带领我们沿着等高线形成的梯子一步步下降，无限逼近中心点。

3.0.4 神经网络中常用的损失函数

• 均方差函数，主要用于回归

• 交叉熵函数，主要用于分类

二者都是非负函数，极值在底部，用梯度下降法可以求解。

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3.1 均方差函数

MSE - Mean Square Error。

该函数就是最直观的一个损失函数了，计算预测值和真实值之间的欧式距离。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。

均方差函数常用于线性回归(linear regression)，即函数拟合(function fitting)。公式如下：

$$loss=\frac{1}{2}(z-y{)}^2\text{\hspace{1em}(单样本)}$$

$$J=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(z_i-y_i{)}^2\text{\hspace{1em}(多样本)}$$

3.1.1 工作原理

要想得到预测值a与真实值y的差距，最朴素的想法就是用$Error=a_i-y_i$。

对于单个样本来说，这样做没问题，但是多个样本累计时，$a_i-y_i$有可能有正有负，误差求和时就会导致相互抵消，从而失去价值。所以有了绝对值差的想法，即$Error=|a_i-y_i|$。这看上去很简单，并且也很理想，那为什么还要引入均方差损失函数呢？两种损失函数的比较如表3-1所示。

表3-1 绝对值损失函数与均方差损失函数的比较

样本标签值	样本预测值	绝对值损失函数	均方差损失函数
$[1,1,1]$	$[1,2,3]$	$(1-1)+(2-1)+(3-1)=3$	$(1-1{)}^2+(2-1{)}^2+(3-1{)}^2=5$
$[1,1,1]$	$[1,3,3]$	$(1-1)+(3-1)+(3-1)=4$	$(1-1{)}^2+(3-1{)}^2+(3-1{)}^2=8$
		$4/3=1.33$	$8/5=1.6$

可以看到5比3已经大了很多，8比4大了一倍，而8比5也放大了某个样本的局部损失对全局带来的影响，用术语说，就是“对某些偏离大的样本比较敏感”，从而引起监督训练过程的足够重视，以便回传误差。

3.1.2 实际案例

假设有一组数据如图3-3，我们想找到一条拟合的直线。

图3-3 平面上的样本数据

图3-4中，前三张显示了一个逐渐找到最佳拟合直线的过程。

• 第一张，用均方差函数计算得到Loss=0.53；
• 第二张，直线向上平移一些，误差计算Loss=0.16，比图一的误差小很多；
• 第三张，又向上平移了一些，误差计算Loss=0.048，此后还可以继续尝试平移（改变b值）或者变换角度（改变w值），得到更小的损失函数值；
• 第四张，偏离了最佳位置，误差值Loss=0.18，这种情况，算法会让尝试方向反向向下。

图3-4 损失函数值与直线位置的关系

第三张图损失函数值最小的情况。比较第二张和第四张图，由于均方差的损失函数值都是正值，如何判断是向上移动还是向下移动呢？

在实际的训练过程中，是没有必要计算损失函数值的，因为损失函数值会体现在反向传播的过程中。我们来看看均方差函数的导数：

$$\frac{\partial J}{\partial a_i}=a_i-y_i$$

虽然$(a_i-y_i{)}^2$永远是正数，但是$a_i-y_i$却可以是正数（直线在点下方时）或者负数（直线在点上方时），这个正数或者负数被反向传播回到前面的计算过程中，就会引导训练过程朝正确的方向尝试。

在上面的例子中，我们有两个变量，一个w，一个b，这两个值的变化都会影响最终的损失函数值的。

我们假设该拟合直线的方程是y=2x+3，当我们固定w=2，把b值从2到4变化时，看看损失函数值的变化如图3-5所示。

图3-5 固定W时，b的变化造成的损失值

我们假设该拟合直线的方程是y=2x+3，当我们固定b=3，把w值从1到3变化时，看看损失函数值的变化如图3-6所示。

图3-6 固定b时，W的变化造成的损失值

3.1.3 损失函数的可视化

损失函数值的3D示意图

横坐标为W，纵坐标为b，针对每一个w和一个b的组合计算出一个损失函数值，用三维图的高度来表示这个损失函数值。下图中的底部并非一个平面，而是一个有些下凹的曲面，只不过曲率较小，如图3-7。

图3-7 W和b同时变化时的损失值形成的曲面

损失函数值的2D示意图

在平面地图中，我们经常会看到用等高线的方式来表示海拔高度值，下图就是上图在平面上的投影，即损失函数值的等高线图，如图3-8所示。

图3-8 损失函数的等高线图

如果还不能理解的话，我们用最笨的方法来画一张图，代码如下：

    s = 200
    W = np.linspace(w-2,w+2,s)
    B = np.linspace(b-2,b+2,s)
    LOSS = np.zeros((s,s))
    for i in range(len(W)):
        for j in range(len(B)):
            z = W[i] * x + B[j]
            loss = CostFunction(x,y,z,m)
            LOSS[i,j] = round(loss, 2)

上述代码针对每个w和b的组合计算出了一个损失值，保留小数点后2位，放在LOSS矩阵中，如下所示：

[[4.69 4.63 4.57 ... 0.72 0.74 0.76]
 [4.66 4.6  4.54 ... 0.73 0.75 0.77]
 [4.62 4.56 4.5  ... 0.73 0.75 0.77]
 ...
 [0.7  0.68 0.66 ... 4.57 4.63 4.69]
 [0.69 0.67 0.65 ... 4.6  4.66 4.72]
 [0.68 0.66 0.64 ... 4.63 4.69 4.75]]

然后遍历矩阵中的损失函数值，在具有相同值的位置上绘制相同颜色的点，比如，把所有值为0.72的点绘制成红色，把所有值为0.75的点绘制成蓝色…，这样就可以得到图3-9。

图3-9 用笨办法绘制等高线图

此图和等高线图的表达方式等价，但由于等高线图比较简明清晰，所以以后我们都使用等高线图来说明问题。

代码位置

ch03, Level1

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3.2 交叉熵损失函数

交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。在信息论中，交叉熵是表示两个概率分布 $p,q$ 的差异，其中 $p$ 表示真实分布，$q$ 表示非真实分布，那么$H(p,q)$就称为交叉熵：

$$H(p,q)=\sum _i{p}_i\cdot \ln \frac{1}{q_i}=-\sum _i{p}_i\ln q_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

交叉熵可在神经网络中作为损失函数，$p$ 表示真实标记的分布，$q$ 则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量 $p$ 与 $q$ 的相似性。

交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。

3.2.1 交叉熵的由来

信息量

信息论中，信息量的表示方式：

$$I(x_j)=-\ln (p(x_j))\text{\hspace{1em}(2)}$$

$x_j$：表示一个事件

$p(x_j)$：表示$x_j$发生的概率

$I(x_j)$：信息量，$x_j$越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大

假设对于学习神经网络原理课程，我们有三种可能的情况发生，如表3-2所示。

表3-2 三种事件的概论和信息量

事件编号	事件	概率 $p$	信息量 $I$
$x_1$	优秀	$p=0.7$	$I=-\ln (0.7)=0.36$
$x_2$	及格	$p=0.2$	$I=-\ln (0.2)=1.61$
$x_3$	不及格	$p=0.1$	$I=-\ln (0.1)=2.30$

WoW，某某同学不及格！好大的信息量！相比较来说，“优秀”事件的信息量反而小了很多。

熵

$$H(p)=-\sum _j^{n}p(x_j)\ln (p(x_j))\text{\hspace{1em}(3)}$$

则上面的问题的熵是：

$$\begin{array}{rl}H(p)& =-[p(x_1)\ln p(x_1)+p(x_2)\ln p(x_2)+p(x_3)\ln p(x_3)]\\ & =0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\\ & =0.804\end{array}$$

相对熵(KL散度)

相对熵又称KL散度，如果我们对于同一个随机变量 $x$ 有两个单独的概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。

KL散度的计算公式：

$$D_{KL}(p||q)=\sum _{j=1}^{n}p(x_j)\ln \frac{p(x_j)}{q(x_j)}\text{\hspace{1em}(4)}$$

$n$ 为事件的所有可能性。$D$ 的值越小，表示 $q$ 分布和 $p$ 分布越接近。

交叉熵

把上述公式变形：

$$\begin{array}{rl}{D}_{KL}(p||q)& =\sum _{j=1}^{n}p(x_j)\ln p(x_j)-\sum _{j=1}^{n}p(x_j)\ln q(x_j)\\ & =-H(p(x))+H(p,q)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

$$H(p,q)=-\sum _{j=1}^{n}p(x_j)\ln q(x_j)\text{\hspace{1em}(6)}$$

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||a)$，由于KL散度中的前一部分$H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用交叉熵做损失函数来评估模型。

$$loss=-\sum _{j=1}^n{y}_j\ln a_j\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中，$n$ 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵计算公式是：

$$J=-\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{y}_{ij}\ln a_{ij}\text{\hspace{1em}(8)}$$

$m$ 是样本数，$n$ 是分类数。

有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“学会了”和“没学会”，称为$0/1$分布或二分类。对于这类问题，由于$n=2$，所以交叉熵可以简化为：

$$loss=-[y\ln a+(1-y)\ln (1-a)]\text{\hspace{1em}(9)}$$

二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：

$$J=-\sum _{i=1}^m[y_i\ln a_i+(1-y_i)\ln (1-a_i)]\text{\hspace{1em}(10)}$$

3.2.2 二分类问题交叉熵

把公式10分解开两种情况，当$y=1$时，即标签值是1，是个正例，加号后面的项为0：

$$loss=-\ln (a)\text{\hspace{1em}(11)}$$

横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。y=1意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。

当y=0时，即标签值是0，是个反例，加号前面的项为0：

$$loss=-\ln (1-a)\text{\hspace{1em}(12)}$$

此时，损失函数值如图3-10。

图3-10 二分类交叉熵损失函数图

假设学会了课程的标签值为1，没有学会的标签值为0。我们想建立一个预测器，对于一个特定的学员，根据出勤率、课堂表现、作业情况、学习能力等等来预测其学会课程的概率。

对于学员甲，预测其学会的概率为0.6，而实际上该学员通过了考试，真实值为1。所以，学员甲的交叉熵损失函数值是：

$$los{s}_1=-(1\times \ln 0.6+(1-1)\times \ln (1-0.6))=0.51$$

对于学员乙，预测其学会的概率为0.7，而实际上该学员也通过了考试。所以，学员乙的交叉熵损失函数值是：

$$los{s}_2=-(1\times \ln 0.7+(1-1)\times \ln (1-0.7))=0.36$$

由于0.7比0.6更接近1，是相对准确的值，所以 $loss2$ 要比 $loss1$ 小，反向传播的力度也会小。

3.2.3 多分类问题交叉熵

当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。假设期末考试有三种情况：

1. 优秀，标签值OneHot编码为$[1,0,0]$
2. 及格，标签值OneHot编码为$[0,1,0]$
3. 不及格，标签值OneHot编码为$[0,0,1]$

假设我们预测学员丙的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：$[0.2,0.5,0.3]$，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：

$$los{s}_1=-(0\times \ln 0.2+0\times \ln 0.5+1\times \ln 0.3)=1.2$$

假设我们预测学员丁的成绩为优秀、及格、不及格的概率为：$[0.2,0.2,0.6]$，而真实情况是该学员不及格，则得到的交叉熵是：

$$los{s}_2=-(0\times \ln 0.2+0\times \ln 0.2+1\times \ln 0.6)=0.51$$

可以看到，0.51比1.2的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值（0.6 vs 0.3），交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。

3.2.4 为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？

1. 回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。

2. 分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid或者Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。